A Course in Complex Analisys – Um curso em análise complexa

A Course in Complex Analysis

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Prefácio

  1. A teoria deve conduzir rapidamente a uma compreensão mais profunda das funções elementares, bem como as novas classes de funções (funções mais elevadas). Apresentamos, assim, as funções elementares no primeiro capítulo, estudar suas propriedades mais profundas no terceiro capítulo, e, finalmente, usar os métodos poderosos de análise complexa trabalhados nos capítulos II a IV e introduzir várias funções não elementares: funções elípticas, a Gama e a função Zeta, e o mapa modular A. Nos capítulos (V e VII) incluem uma prova do teorema de números primos – talvez a aplicação mais marcante da análise complexa! Bem como uma descrição das cúbicas planas em termos de funções elípticas, e uma prova do teorema de Picard em singularidades essenciais.

  2. A fim de contornar dificuldades topológicas começamos com uma versão local do teorema integral de Cauchy – veja o capítulo II – o que é suficiente para construir a maior parte da teoria. Um teorema global é então estabelecido usando números sinuosos; seguimos o argumento elegante de Dixon. Em seguida os teoremas residuais com suas aplicações importantes.

  3. Funções de várias variáveis complexas pertencem naturalmente ao conceitual quadro de análise complexa – uma visão que partilhamos, por exemplo, com autores como H. Kneser, R. Narasimhan, etc. Nós apresentamos estas funções nos vários capítulos, em lugares apropriados; então, faremos um estudo mais aprofundado no sexto capítulo. Resultados básicos são cobertos na preparação do teorema de Weierstrass, e na solução do problema de Cousin em espaços inteiros.

  4. O ponto de vista geométrico provou especialmente frutífero em análise complexa. Ele domina o nosso último capítulo, onde provamos o teorema de mapeamento de Riemann, discutir geometria hiperbólica e introduzir o mapa modular usando uma versão mais geral do princípio de reflexão de Schwarz.

Grande parte do nosso texto é traduzido a partir da versão original do alemão em [FL] que se concentra nos resultados mais elementares e básicos da análise complexa. Temos estendido consideravelmente este texto para a versão em Inglês pelos tópicos mais avançados mencionados acima. Assim, o livro deve ser acessível depois de uma aula de cálculo de um ano (que é assumido para incluir a definição dos números complexos), devendo levar o leitor a partir desta fundação para tópicos bastante sofisticados – como expressado no título.

Análise complexa é a criação dos grandes matemáticos do século 19; alguns de seus capítulos assumiram a sua forma final e são apresentados na mesma forma em toda a literatura. Nós, naturalmente, seguimos esta tradição. Onde foi possível, fizemos comentários históricos para expor a origem dos resultados importantes; mas somos totalmente incapazes de escrever uma história do sujeito. Ambos os autores fizeram seu primeiro contato com o campo em palestras por H. Grauert a quem devemos profunda gratidão. Quanto ao texto em si: a sugestão de traduzir e estender nosso livro [FL] deve-se a Ulrike Schmickler – Hirzebruch ( Vieweg + Teubner Verlag ) e Dierk Schleicher (Jacobs University Bremen). A difícil tarefa de tradução foi com cuidado e competência executada por Jan Cannizzo (agora um estudante de graduação na Universidade de Ottawa). Conselhos Matemáticos vêm de nossos colegas D. Schleicher, M. Range (Albany), J. Michel (Calais). Daniel Fischer compilou os arquivos finais em LATEX e, além disso, sugeriu muitas melhorias. Estamos sinceramente gratos por toda a ajuda que recebemos.

Bonn e Bremen, agosto 2011

W. Fischer, I. Lieb

Créditos: f3.tiera.ru

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