Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos – Jaime Campos Ferreira

Capa - Elementos de lógica matemática e teoria dos conjuntos - Jaime Campos Ferreira
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Considero a lógica o assunto mais importante no campo da matemática, com ela refinamos nosso pensamento e alinhamos o entendimento para assuntos complexos. A lógica é imprescindível em todas as etapas de estudo, deveria receber mais atenção nas diversas fases de nossa aprendizagem.

Elementos de lógica matemática

Para melhor compreender as definições e teoremas que constituem as teorias Matemáticas cujo estudo vamos iniciar, é indispensável habituarmo-nos a usar uma linguagem mais precisa e rigorosa do que a que se utiliza, em geral, na vida corrente. A aquisição desse hábito pode ser facilitada pelo conhecimento de algumas noções e símbolos da Lógica Matemática, estudada neste livro, de forma muito resumida e largamente baseada na intuição. Convém, no entanto, observar que a Lógica Matemática tem hoje aplicações concretas extremamente importantes, em diversos domínios; uma das mais notáveis é, sem dúvida, a sua utilização no planeamento dos modernos computadores quânticos, tabletes e, principalmente os ditos “telefones inteligentes – Smartphones”.

Autor: Jaime Campos Ferreira

Fonte: IST

Fractais – uma viagem psicodélica

Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não-Euclidiana. As formas fractais são surreais (exóticas) cujas áreas são limitadas, mas o perímetro é infinito, sendo formadas por caminhos similares que não admitem derivadas, nem funções diferenciáveis e nem tangentes.

Para quem desejar calcular os fractais, segue um ótimo manual – Cálculo da Dimensão Fractal.

Fonte: Fractal Fonte: Geometria fractal Créditos: 15 Second Fractals

Elementos de Geometria Plana e Espacial

Geometria Plana e Espacial – 3a Edição

A geometria euclidiana é caracterizada pelo espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica e que se manteve incólume no pensamento matemático medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser construídos modelos de geometrias não euclidianas.

Os elementos de geometria compõe a Geometria Plana e Espacial, constituintes importantes da geometria euclidiana que se encontra presente em nosso dia a dia, correspondendo à realidade multifacetada que nos envolve com todas as suas formas e perspectivas.

Ao clicar nas imagens é possível acessar os seguintes manuais:

  1. Os Elementos – Euclides

    Elementos de Geometria Plana e Espacial – fonte UFPR.

  2. Os elementos – de Euclides.

Créditos: UFPR

Créditos: Wikipédia

Our Mathematical Universe (Nosso Universo Matemático)

Our Mathematical Universe
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Max Tegmark nos leva em uma viagem surpreendente através de passado, presente e futuro, e por meio da física, astronomia e matemática que são a base do seu trabalho, mais particularmente a sua hipótese de que a nossa realidade física é uma estrutura matemática em sua teoria final do multiverso. Numa combinação deslumbrante de ciência popular e inovação, ele não só nos ajuda a compreender suas teorias, muitas vezes incompreensível, mas também compartilha conosco alguns dos mais surpreendentes triunfos e decepções que moldaram sua vida como um cientista. Fascinante do primeiro ao último parágrafo, este é um livro que já chamou a atenção e admiração de alguns dos cientistas e matemáticos mais proeminentes.

Max Tegmark é autor ou coautor de mais de 200 trabalhos técnicos, doze dos quais foram citados mais de 500 vezes. Ele tem destaque em dezenas de documentários científicos. É Ph.D pela Universidade da Califórnia, em Berkeley, e também professor de física no MIT.

Fonte: Kikass.to

Provando Darwin – Fazendo biologia matemática

Proving Darwin
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O inovador matemático Gregory Chaitin postula que podemos provar como a teoria da evolução de Darwin trabalha em um nível matemático. Durante anos, ele foi bem recebido entre a maioria dos cientistas que, assim como Darwin afirmou, todas as formas de vida da Terra evoluíram por mero acaso. Mas a teoria de Darwin funciona em um nível puramente matemático? Houve tempo suficiente para a evolução produzir a diversidade biológica notável que vemos ao nosso redor?

São perguntas que ninguém respondeu por completo, ninguém tentou respondê-las até agora com o uso da matemática em um nível tão profundo. Neste livro esclarecedor e provocativo, “Gregory Chaitin” argumenta que não podemos ter certeza se a evolução faz sentido sem uma teoria matemática. Ele elucida o esquema matemático que desenvolveu e pode explicar a própria vida, e examina as obras de pioneiros matemáticos como John Von Neumann e Alan Turing através das lentes da biologia. Chaitin apresenta uma introdução acessível à metabiologia, uma nova forma de pensar a ciência biológica que destaca as estruturas matemáticas que sustentam o mundo biológico. Fascinante, Provando Darwin deixa claro como a biologia pode ter encontrado seu maior aliado na matemática.

Fonte: Ebooke.org

A Course in Complex Analisys – Um curso em análise complexa

A Course in Complex Analysis
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Prefácio

  1. A teoria deve conduzir rapidamente a uma compreensão mais profunda das funções elementares, bem como as novas classes de funções (funções mais elevadas). Apresentamos, assim, as funções elementares no primeiro capítulo, estudar suas propriedades mais profundas no terceiro capítulo, e, finalmente, usar os métodos poderosos de análise complexa trabalhados nos capítulos II a IV e introduzir várias funções não elementares: funções elípticas, a Gama e a função Zeta, e o mapa modular A. Nos capítulos (V e VII) incluem uma prova do teorema de números primos – talvez a aplicação mais marcante da análise complexa! Bem como uma descrição das cúbicas planas em termos de funções elípticas, e uma prova do teorema de Picard em singularidades essenciais.

  2. A fim de contornar dificuldades topológicas começamos com uma versão local do teorema integral de Cauchy – veja o capítulo II – o que é suficiente para construir a maior parte da teoria. Um teorema global é então estabelecido usando números sinuosos; seguimos o argumento elegante de Dixon. Em seguida os teoremas residuais com suas aplicações importantes.

  3. Funções de várias variáveis complexas pertencem naturalmente ao conceitual quadro de análise complexa – uma visão que partilhamos, por exemplo, com autores como H. Kneser, R. Narasimhan, etc. Nós apresentamos estas funções nos vários capítulos, em lugares apropriados; então, faremos um estudo mais aprofundado no sexto capítulo. Resultados básicos são cobertos na preparação do teorema de Weierstrass, e na solução do problema de Cousin em espaços inteiros.

  4. O ponto de vista geométrico provou especialmente frutífero em análise complexa. Ele domina o nosso último capítulo, onde provamos o teorema de mapeamento de Riemann, discutir geometria hiperbólica e introduzir o mapa modular usando uma versão mais geral do princípio de reflexão de Schwarz.

Grande parte do nosso texto é traduzido a partir da versão original do alemão em [FL] que se concentra nos resultados mais elementares e básicos da análise complexa. Temos estendido consideravelmente este texto para a versão em Inglês pelos tópicos mais avançados mencionados acima. Assim, o livro deve ser acessível depois de uma aula de cálculo de um ano (que é assumido para incluir a definição dos números complexos), devendo levar o leitor a partir desta fundação para tópicos bastante sofisticados – como expressado no título.

Análise complexa é a criação dos grandes matemáticos do século 19; alguns de seus capítulos assumiram a sua forma final e são apresentados na mesma forma em toda a literatura. Nós, naturalmente, seguimos esta tradição. Onde foi possível, fizemos comentários históricos para expor a origem dos resultados importantes; mas somos totalmente incapazes de escrever uma história do sujeito. Ambos os autores fizeram seu primeiro contato com o campo em palestras por H. Grauert a quem devemos profunda gratidão. Quanto ao texto em si: a sugestão de traduzir e estender nosso livro [FL] deve-se a Ulrike Schmickler – Hirzebruch ( Vieweg + Teubner Verlag ) e Dierk Schleicher (Jacobs University Bremen). A difícil tarefa de tradução foi com cuidado e competência executada por Jan Cannizzo (agora um estudante de graduação na Universidade de Ottawa). Conselhos Matemáticos vêm de nossos colegas D. Schleicher, M. Range (Albany), J. Michel (Calais). Daniel Fischer compilou os arquivos finais em LATEX e, além disso, sugeriu muitas melhorias. Estamos sinceramente gratos por toda a ajuda que recebemos.

Bonn e Bremen, agosto 2011

W. Fischer, I. Lieb

Créditos: f3.tiera.ru

Fluxo de Ricci e a Conjectura de Poincaré – By John Morgan, Gang Tian

Ricci Flow Book
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Perelman postou três pré-impressões mostrando como usar argumentos geométricos, em particular o fluxo de Ricci como introduzido e estudado por Richard Hamilton, para resolver a Conjectura de Poincaré de forma afirmativa. Este livro fornece detalhes completos de uma prova completa da Conjectura de Poincaré seguindo os três artigos de Perelman. Depois de uma longa introdução que descreve todo o argumento; o livro é dividido em quatro partes:

  1. A primeira parte analisa os resultados necessários de geometria Riemanniana e fluxo de Ricci, incluindo bastante dos trabalhos de Hamilton;
  2. A segunda parte inicia-se com a função de comprimento Perelman, que é usado para estabelecer teoremas não colapso cruciais. Em seguida, discute-se a classificação de não-colapso, soluções antigas para a equação do fluxo de Ricci.
  3. A terceira parte diz respeito à existência do fluxo de Ricci com cirurgia para sempre positivo e uma análise das alterações topológicas e geométricas introduzidas pela cirurgia.
  4. A última parte segue a terceira pré-impressão de Perelman, provando que quando o Riemanniano da 3ª varieade inicial tem grupo fundamental finito, o fluxo de Ricci com cirurgia torna-se extinto após o tempo finito.
Conjecturas
Créditos: Cameron Slayden/Science

As provas da Conjectura de Poincaré foram confirmadas com a aplicação do fluxo de Ricci na 3ª dimensão da esfera. A existência do fluxo de Ricci com cirurgia tem aplicação das 3 variedades para muito além da Conjectura de Poincaré. Ele forma o coração da comprovação via fluxo de Ricci da geometrização das conjecturas Thurstons. A Geometrização da Conjectura de Thurstons, que classifica todos os compactos de 3 variedades, será o tema de um artigo de acompanhamento. A organização do material deste livro é diferente da que foi dada por Perelman. Desde o início os autores apresentam todos os argumentos analíticos e geométricos no contexto do fluxo de Ricci com cirurgia. Além disso, a quarta parte é uma versão ampliada de Perelman na terceira pré-impressão, que dá a primeira prova completa e detalhada da extinção do teorema em tempo finito. Com a grande quantidade de material de fundo que é apresentada e as versões detalhadas dos argumentos centrais, este livro é adequado para todos os matemáticos e estudantes de graduação avançados, e especialistas em geometria e topologia.

O que é topologia?

No entanto, a resolução do problema das sete pontes de Königsberg por Leonard Euler em 1736 é considerada como sendo um dos primeiros resultados topológicos. Este é um exemplo de problema que liga diferentes áreas da matemática, neste caso a topologia com a teoria dos grafos.

O estudo dos espaços de funções, realizados por matemáticos notáveis como Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, entre outros, culmina com o trabalho de Maurice Fréchet, que introduziu a noção de espaço métrico, muitas de suas características lembrando o Rn. Atualmente os espaços métricos são considerados casos específicos, mas muito importantes, de uma classe mais geral conhecida como espaços topológicos.

A formalização do conceito de espaço topológico é devida a Felix Hausdorff que definiu em 1914 o que hoje é conhecido como espaço de Hausdorff. Como se vê pela própria definição dada abaixo, a topologia moderna se baseia fortemente na teoria dos conjuntos, assim como a maior parte da matemática. O conceito final de espaço topológico é um pouco mais geral que o conceito de espaço de Haussdorf e foi introduzido posteriormente por Kazimierz Kuratowski em 1922.

Henri Poincaré introduziu em seu livro “Analysis Situs” de 1895 os conceitos de homotopia e homologia, sendo considerado o marco de criação da topologia algébrica. O interesse no estudo da topologia algébrica inclui a percepção que alguns problemas topológicos são mais tratáveis que problemas algébricos, entre eles está mostrar que Rn, não é topologicamente equivalente (homeomorfo) a Ra se a é diferente de n.

Homeomorfismo

Dois espaços topológicos dizem-se homeomorfos se existir uma aplicação entre esses espaços que seja contínua, invertível e a sua inversa seja contínua.

  • Na linguagem da teoria das categorias, um morfismo entre espaços topológicos é uma função contínua entre eles.
  • Um isomorfismo, chamado de homeomorfismo, portanto, é um morfismo que tem um morfismo inverso.
  • Um isomorfismo entre espaços topológicos é também conhecido como homeomorfismo bijetor, da função bijetora que preserva a estrutura topológica envolvida.

Fonte: Wikipédia
Fonte: Arxiv.org
Fonte: Sciencemag

A História da Matemática ep. 1 a 4 – BBC

A História da Matemática – Episódios 1 a 4

1 A Linguagem do Universo

É o primeiro de quatro episódios da série, uma produção da BBC e da Open University que resume 30 mil anos de desenvolvimento das ideias matemáticas que formam a base da nossa cultura, ciência e tecnologia. É conduzida pelo professor de Matemática da Universidade de Oxford, Marcus du Sautoy, um cientista conhecido pelo esforço que faz para popularizar a Matemática.

Neste programa Marcus du Sautoy observa como a Matemática é fundamental nas nossas vidas, antes de explorar os estudos do Antigo Egito, Mesopotâmia e Grécia. No Egito, ele verifica o conhecimento antigo sobre o sistema decimal, baseado nos dez dedos das mãos; o método de multiplicação e divisão; números binários; frações e sólidos como a pirâmide.

Ele descobriu que o caminho para contar o tempo atualmente (com sessenta segundos em um minuto e sessenta minutos em uma hora) é baseado em um sistema babilônico, e nos mostrou como os babilônios utilizavam as equações de segundo grau para medir suas terras.

Na Grécia, ele observa as contribuições de alguns gigantes da Matemática, incluindo: Platão, Euclides, Arquimedes e Pitágoras – a quem é creditado a transformação da Matemática a partir de uma ferramenta de contar. Pitágoras foi visto como uma figura controversa, com ensinamentos considerados suspeitos e cujos seguidores foram vistos como membros de uma seita bizarra. Bem como o seu trabalho inovador sobre as propriedades dos triângulos retângulos, Pitágoras desenvolveu outra teoria importante, depois de observar as propriedades dos instrumentos musicais: ele descobriu que os intervalos entre as notas musicais harmoniosas são sempre em proporções de números inteiros para o outro.

2 O Gênio do Oriente

O Ocidente muitas vezes esquece o grande legado matemático que recebeu das civilizações orientais. Muitas das descobertas da Matemática que transformaram o mundo em que vivemos nunca receberam o devido crédito. Esta é a história não contada dos matemáticos do Oriente que transformaram o Ocidente e deram à luz um novo mundo.

Na China, por volta de 200 a.C., a Dinastia Han estimulou estudiosos a compilar um livro conhecido como Os Nove Capítulos, que tentou recuperar e preservar para sempre as lições perdidas dos matemáticos chineses da antiguidade. O texto se dedica a resolver problemas práticos – do mundo real: como dividir terras e produtos, e como administrar trabalhos de construção.

A Índia foi a primeira civilização a desenvolver um sistema numérico com um símbolo para representar o zero – um dos grande marcos no desenvolvimento da matemática. Aryabhata (476 – 550 d.C.) produziu um método para encontrar o valor de Pi que gera seu valor verdadeiro mais acuradamente que qualquer outro método contemporâneo.

No século 7 d.C, estabeleceu-se um novo regime com centro em Bagdá, que pretendia se transformar na maior usina intelectual do mundo. Fundou-se um novo centro de ensino, chamado de A Casa da Sabedoria, que se tornou ponto-focal das tentativas de reunir o conhecimento matemático da Grécia, da Índia e da Babilônia.

3 As Fronteiras do Espaço

No século XVII, a Europa tornou-se no centro matemático do mundo. Tinham sido dados grandes passos na compreensão da geometria dos objetos fixos no espaço e no tempo. Chegava a altura de procurar desvendar a matemática que descreve os objectos em movimento.

Marcus du Sautoy irá visitar a França de René Descartes um grande matemático que conseguiu juntar a Geometria e a Álgebra. Analisará as propriedades dos números primos que foram descobertas por Fermat e que hoje usamos na nossa tecnologia moderna.

Segue-se a matemática de Newton e Leibniz onde será contada a história de antagonismo existente entre dois dos maiores cérebros matemáticos da História. Por fim, analisaremos as implicações nas nossas vidas das descobertas matemáticas de mais três gigantes da Matemática: Gauss, Euler e Riemann.

4 Para o Infinito e Além

A quarta e última parte da série mostra que, para muitas pessoas, o prazer da Matemática está no entendimento do problema, e não simplesmente na solução correta. Em 1900, o matemático francês David Hilbert identificou os mais importantes enigmas não resolvidos que desafiavam os matemáticos, definindo o roteiro de pesquisas para a Matemática no século XX. 15 dos 23 problemas já foram pelo menos parcialmente resolvidos. Os restantes continuam dando trabalho a quem persegue uma resposta.

Hoje, contamos com o computador, que revolucionou a Matemática ao permitir cálculos ultrarrápidos e ao ajudar os matemáticos a ver o caos. Só que provar sem entender ainda é uma questão que perturba os matemáticos.

Fonte: Documentaryondemand

Fonte: Univesp

A sedução dos fractais de Benoît Mandelbrot

O matemático Benoît Mandelbrot foi a primeira pessoa a usar um computador para visualizar o comportamento de um sistema dinâmico. Em 1975, ele introduziu a palavra fractal (do latim fractus, quebrado) para denotar objetos com dimensão fracionária. Sua pesquisa científica construiu a base da geometria fractal com a ligação entre a matemática clássica e o caos da turbulência atmosférica, as populações biológicas e o mercado de ações. Décadas antes os fractais foram estudados por vários matemáticos como: Weierstrass, Koch, Lévy, Cantor, Poincaré e Julia.

Este filme baseia-se na exposição “Sedução” (http://mandelbrot-set.elica.net/) e combina imagens geradas por computador a partir do conjunto de Mandelbrot com fotografias digitais da vida real. A música usada no filme é “Vitae Amandae” por Cathleen Trezza e Músicade de Firewisp (http://www.firewispmusic.com). As fotografias digitais são fornecidos por Annette Olson, Daisuke Tomiyasu, Elfi Berndl, Jon Sullivan, John French, Nicholas Gere, e Simon Tong. Edição e créditos é feito por Louise Blyton.

O voo sobre o fractal e o mergulho em seu abismo é gerado por vários programas projetados especialmente para esse modelo de trajetórias baseadas em curvas NURBS. Os programas são escritos em Logo (http://elica.net/ e http://lhogho.sourceforge.net/) e Pascal. O filme original é HD720p, 1.5GB. Os dados brutos para todos os 7500 quadros ocupam algo em torno de 20 GB. A Produção levou cerca de dois meses, enquanto o tempo de processamento puro para o quadro mais difícil foi de 10 horas.

Fractais locais retratados são virtuais, mas não fictícios. Qualquer semelhança com outras áreas do conjunto de Mandelbrot e matematicamente é completamente justificável.

Fonte: Elica

Animação fractal feito com Mandelbulb3D

O artista dos fractais Jeremie Brunet projetou este vídeo a pedido de Bryan Alvarez da UC Berkeley, para uma conversa TEDx sobre seu projeto Atlas Humano, ilustrando seu sonho inicial sobre a beleza dos sistemas vivos. Esta é uma versão melhorada. Este é um fractal híbrido Julia, onde muitos parâmetros estão sendo animados: os parâmetros fractais em si, a semente Julia, as cores e, claro, a posição da câmera. Para mais detalhes sobre fractais em 3D e fazer o download do software Mandelbulb3D, visite FractalForums.

Fonte:FlorenceBrunet