Aprenda organizar espaços e subespaços na matemática

Figura 1 – Definimos em P(n) a probabilidade de um evento n ocorrer.

A Probabilidade Condicional determina a probabilidade de um evento A ocorrer na certeza da ocorrência de um evento B, qualquer que seja a ordem dos eventos.

É representado por: P(A/B) = P(A∩B)/P(A) Lê-se: a probabilidade do evento A na certeza do evento B. A cardinalidade do número natural é ℵ0 (lê-se alef-nulo ou alef-zero), o cardinal seguinte maior é ℵ1, depois vem ℵ2 e assim por diante. Continuando desta maneira, é possível definir um número cardinal ℵα para qualquer número ordinal α.

O que é um espaço/subespaço

São as possibilidades existenciais em todos os sentidos que podemos imaginar, conceber e principalmente medir. A existência (universo) nasceu com suas próprias leis da física (inclusos os espaços e subespaços); então, não podemos conceber algo que não esteja incorporado nas leis da física. Fora da ficção, literatura, filosofia, licença poética; tais coisas em si mesmas não podem existir – caso estejam fora de algum espaço ou subespaço. A infraestrutura de nosso universo ou de outros universos é formada por espaços e subespaços em sentido físico e amplo do termo.

Espaço em matemática

O espaço é a extensão tridimensional ilimitada e infinita em que objetos e eventos têm posições e direções relativas. É dentro dos espaços e suas subdivisões (subespaços), onde encontramos todas as possibilidades existenciais no universo físico (leis da física) e no Universo do discurso matemático (UDM).

O que são conjuntos?

Podemos defini-los como: a organização dos espaços e subespaços matemáticos. Para que possamos aprender matemática em profundidade é necessário aprendermos a linguagem moderna dos conjuntos. Por uma questão de notações e convenções seguidas por quase todos os matemáticos e este autor, usaremos letras MAIÚSCULAS para representar conjuntos e letras minúsculas para representar os elementos de um conjunto. Os elementos de qualquer conjunto são colocados entre chaves, ou seja, “{” e “}”. Além disso, se um objeto x pertence a um conjunto X, o representamos como x X. Da mesma forma, se um elemento não pertence ao conjunto, escrevemos x ∉ X. Importante: tanto as notações quanto toda a simbologia matemática, ocupam locais que chamamos de espaços, ao local dentro de outro local podemos nomear como subespaços.

O que são elementos?

Um conjunto é uma coleção de objetos chamados elementos ou membros. Um conjunto sem objetos é chamado conjunto vazio e é denotado por 0 (zero, ou às vezes por {} abre e fecha chaves sem conteúdo).

Ex: S:= {0,1,2,3}

Com os símbolos:= (dois pontos e igual), queremos dizer que estamos definindo o que é S, ao invés de apenas mostrar uma igualdade. Nós escrevemos:

1 ∈ S

para denotar que o número 1 pertence ao conjunto S, ou seja, 1 é um membro de S. Às vezes queremos dizer que dois elementos estão em um conjunto S, então escrevemos “1, 2 ∈ S” como uma abreviação para “1 ∈ S e 2 ∈ S”. Da mesma forma, escrevemos:

5 ∉ S

para denotar que o número 5 não está em S, ou seja, 5 não é membro de S.

Os elementos de todos os conjuntos em consideração vêm de algum conjunto que chamamos universo. Para simplificar, muitas vezes consideramos o universo como o conjunto que contém apenas os elementos nos quais estamos interessados. O universo é geralmente entendido a partir do contexto e não é mencionado explicitamente. Neste contexto, nosso universo será na maioria das vezes o conjunto de números reais. Enquanto os elementos de um conjunto geralmente são números – outros objetos; como outros conjuntos, podem ser elementos de um conjunto. Um conjunto também pode conter alguns dos mesmos elementos que outro conjunto.

Por exemplo:

T:= {0, 2}

contém os números 0 e 2. Neste caso, todos os elementos de T também pertencem a S. Escrevemos T ⊂ S. Observe:

Figura 2. Um diagrama dos conjuntos do exemplo S e seu subconjunto T. Observe que estamos organizando o espaço de S com seu subespaço interior T.

Aprenda ler matemática

Talvez a maior gafe encontrada no ensino da matemática é quando os alunos não sabem ler as equações e os objetos matemáticos. Ao observar um símbolo, uma fórmula ou equação, você não pode ficar com a dúvida cruel sobre a simbologia empregada, o contexto e principalmente a verbalização da frase na explicação de cada elemento apresentado. Ao olhar para a matemática: você não pode guardar a dúvida – resolva a dúvida de imediato (pergunte ao professor ou pesquise na internet em locais confiáveis com fontes de referência – como neste blog) – jamais fique na dúvida sobre: pontos, linhas, gráficos, letras, símbolos, equações, etc.

Realidade (física) e matemática (subjetiva)

O universo (realidade ou natureza) é 100% físico, não há existências fora das leis da física (isso inclui a mecânica quântica e teoria da relatividade); portanto, não há matemática escondida na natureza, você não deve procurar matemática na natureza, se fizer isso cometerá o tão falado: viés de confirmação, parte do viés cognitivo. Toda a matemática é 100% subjetiva e como tal é apenas um produto de nosso cérebro que usa nossos sentidos (simulação cerebral) – inclusos – nossos pensamentos, para que possamos intuir a matemática. É por esse motivo que nós não podemos ter acesso direto à realidade física sem antes passarmos pela simulação de nosso cérebro – nossos corpos, funcionam como se fossem sensores ou antenas, por meio dos quais nosso cérebro simula o mundo ao nosso redor. Ex: uma teia de aranha, uma folha, o padrão das conchas, favos de mel, etc. Essas coisas são apenas representações da realidade, geradas por nosso cérebro. Inclusive a dupla hélice de nosso DNA, é apenas uma construção matemática que nós atribuímos pela forma como nosso cérebro consegue interpretar a realidade física por meio de uma simulação interna. Fique atento: somente depois que a matemática foi transformada em experimentos confrontados com o mundo físico (leis da física), é que a realidade toma forma e alcançamos a verdade dos fatos. Enquanto a matemática for apenas um apanhado de fórmulas e símbolos em nossas cabeças, o lá fora estará sempre vazio ∅, cuja existência é uma nebulosidade indefinida.

Teorema, proposição, lema e corolário

Teorema

Em matemática, um teorema é uma afirmação que tem sido provada, ou pode ser provada. A prova de um teorema é um argumento lógico que usa as regras de inferência de um sistema dedutivo para estabelecer que o teorema é uma consequência lógica dos axiomas e teoremas previamente provados.

Terminologia

Há vários termos diferentes para afirmações matemáticas, esses termos indicam o papel que as declarações desempenham em um determinado assunto. A distinção entre termos diferentes às vezes é bastante arbitrária, e o uso de alguns termos evoluiu ao longo do tempo.

  • Um axioma ou postulado, é um pressuposto fundamental em relação ao objeto estudado, que é aceito sem comprovação. Um conceito relacionado é o de uma definição, que dá o significado de uma palavra ou frase em termos de conceitos conhecidos. A geometria clássica discerne entre axiomas, que são afirmações gerais e postulados, que são afirmações sobre objetos geométricos. Historicamente, os axiomas eram considerados “evidentes”, hoje eles são meramente considerados verdadeiros.
  • Uma conjectura é uma afirmação não comprovada que se acredita ser verdadeira. Conjecturas são normalmente apresentadas em público, e nomeadas após seu criador (por exemplo, a conjectura de Goldbach e Collatz conjectura). O termo hipótese também é usado neste sentido (por exemplo, hipótese de Riemann), que não deve ser confundido com “hipótese” como premissa de uma prova. Outros termos também são usados ​​ocasionalmente; por exemplo, problema quando as pessoas não têm certeza se a afirmação deve ser considerada verdadeira. O Último Teorema de Fermat foi historicamente chamado de teorema; embora, por séculos, tenha sido apenas uma conjectura.
  • Um teorema é uma afirmação que foi comprovada como verdadeira com base em axiomas e outros teoremas.
  • Uma proposição é um teorema de menor importância, ou considerado tão elementar ou imediatamente óbvio, que pode ser declarado sem provas. Isso não deve ser confundido com “proposição” conforme usada na lógica proposicional. Em geometria clássica o termo “proposição” foi usado de maneira diferente: em Os Elementos de Euclides (300 AEC), todos os teoremas e construções geométricas foram chamados de “proposições”, independentemente da sua importância.
  • Um lema é uma “proposição acessória” – uma proposição com pouca aplicabilidade fora de seu uso em uma prova particular. Ao longo do tempo um lema pode ganhar em importância e ser considerado um teorema, embora o termo “lema” geralmente é mantido como parte de seu nome (por exemplo, o lema de Gauss, o lema de Zorn, e os lemas fundamentais).
  • Um corolário é uma proposição que segue imediatamente de outro teorema ou axioma, com pouca ou nenhuma prova exigida. Um corolário também pode ser uma reafirmação de um teorema em uma forma mais simples, ou para um caso especial: por exemplo, o teorema “todos os ângulos internos em um retângulo são ângulos retos” tem um corolário que “todos os ângulos internos em um quadrado são ângulos retos” – um quadrado sendo um caso especial de um retângulo.
  • A generalização de um teorema é um teorema com uma afirmação semelhante, mas em um escopo mais amplo, a partir do qual o teorema original pode ser deduzido como um caso especial (um corolário).

Resumo

Aos resultados acima chamamos de Teorema, enquanto a maioria dos resultados chamamos de Proposições, e para alguns chamamos de Lema (um resultado que leva a outro resultado) ou Corolário (uma consequência rápida do resultado anterior). Não se concentre muito na nomenclatura. Algumas são tradicionais, outras são escolhas estilísticas. Não é necessariamente verdade que um Teorema é sempre “mais importante” que uma Proposição ou um Lema. Também precisaremos cruzar ou unir vários conjuntos de uma só vez. Se houver apenas um número finito, então simplesmente aplicamos a operação de união ou interseção várias vezes.

Sugestões importantes

Há várias estratégias diferentes para provar proposições. Além de usar diferentes métodos de prova, os alunos geralmente cometem alguns erros comuns quando estão aprendendo a provar teoremas. Para auxiliar os alunos que estudam matemática abstrata pela primeira vez, listo aqui algumas das dificuldades encontradas e algumas das estratégias de prova disponíveis.

  • Um teorema não pode ser provado por exemplo; no entanto, a maneira padrão de mostrar que uma afirmação não é um teorema é fornecer um contraexemplo.
  • Os quantificadores são importantes. Palavras e frases como: somente, para todo, para todos e para alguns, possuem significados diferentes.
  • Nunca assuma nenhuma hipótese que não esteja explicitamente declarada no teorema. Você não pode tomar as coisas como garantidas.
  • A matemática é desprovida de realidade (a física é o mundo natural ou real, a matemática será sempre subjetiva – nossa ferramenta mais importante).
  • Suponha que você queira mostrar que um objeto existe e é único. Primeiro, mostre que realmente existe tal objeto. Para mostrar que é único, suponha que existam dois desses objetos, digamos x e y, e então mostre que x = y.
  • Às vezes é mais fácil provar a contra positiva de uma afirmação. Provar a afirmação “Se p, então q” é exatamente o mesmo que provar a afirmação “Se não q, então não p”.
  • Embora, geralmente seja melhor encontrar uma prova direta de um teorema, essa tarefa às vezes pode ser difícil. Pode ser mais fácil supor que o teorema que você está tentando provar é falso e esperar que no decorrer do seu argumento você seja forçado a fazer alguma afirmação que não pode ser verdadeira.

Universo do discurso matemático (UDM)

Acima falamos do universo real das leis da física que é independente de nossos conceitos ou suposições, quando falamos de matemática podemos utilizar o que chamo de “universo do discurso matemático UDM” para representar todo o repertório de objetos ou elementos que fazem uso da lógica subjetiva inventada por nós e espelhada em nossa simulação construída por nosso cérebro (abstrações/intuições). Para dúvidas quanto à simbologia matemática, consulte meu outro poste: Pense com clareza – Lógica e simbologia matemática – Ebooks inclusos.

Ex1: construtor de conjuntos

C = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}

Lê-se: C é igual ao espaço x que pertence a R (conjunto dos reais) tal que 0 é menor ou igual ao espaço x que é menor ou igual 1.

Ou, também podemos ler como: “C é uma coleção de todos os elementos x de R tais que 0 é menor ou igual a x e x é menor ou igual a 1”.

Considere a coleção C, que faremos do nosso universo R de números reais da forma maior ou igual a 0 e menor ou igual a 1. Vejamos se podemos listar os elementos como acima. Claramente, 0 é um número real que segue nosso critério para estar na coleção e 1 também. Existe algum outro número real entre 0 e 1 que também satisfaça o critério? Sim! Um desses números é 1/2 (particionamento de espaços).

Considerando a maneira de escrever conjuntos tratadas no exemplo 1 acima, faremos os seguintes conjuntos do conjunto dos números reais R:

(conjunto vazio) – existencial e sem elementos.

N = {1, 2, 3, ···} ,

Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,…},

Q = {p/q ∈ R|p ∈ Z e q ∈ N},

Q+ = {x ∈ Q|x > 0},

Q = {x ∈ Q|x < 0},

Q = {x ∈ Q|x ≠ 0},

R+ = {x ∈ R|x > 0},

R = {x ∈ R|x < 0},

R = {x ∈ R|x ≠ 0}.

Neste exemplo, usamos essas notações para os conjuntos definidos acima. Aqui, o conjunto N é chamado de conjunto dos números naturais, Z é chamado de conjunto dos inteiros e Q é chamado de conjunto dos números racionais. Um conjunto que ainda não escrevemos e ao qual não damos uma notação é o conjunto dos números irracionais. Será tratado em outro poste o motivo é a falta de espaços aqui.

Vimos até agora que podemos formar conjuntos que contêm números. Uma pergunta natural surge: existem conjuntos que contêm elementos que não são apenas números? Bem, como podemos ter visto em nosso ensino médio, os conjuntos podem conter quaisquer tipos de elementos: números, alfabetos, palavras ou; na verdade, um conjunto de livros ou papeis também é um conjunto! Nesta fase, porém, uma pergunta melhor pode ser feita: os elementos de um conjunto podem ser conjuntos? Vamos tentar descobrir por meio de exemplos:

Famílias de conjuntos

Considere o conjunto dos números reais, R. Desejamos coletar todos os conjuntos construídos a partir dos elementos de R que contêm 0. Agora, estamos coletando conjuntos em vez de elementos individuais de R. Podemos ter um desses conjuntos? Sim, o próprio R. Podemos ter outro? Novamente a resposta é sim! {0} é outro conjunto desse tipo. Claramente, listar todos esses conjuntos seria impraticável. Então, usaremos uma função construtora de conjuntos para escrever nossa coleção que chamaremos de F. Então temos:

F = {S|S é construído a partir dos elementos de R e 0 ∈ S}

Lê-se: F é uma função igual ao conjunto S, tal que S é construído a partir dos elementos de R e 0 ∈ pertence a S.

Os elementos de conjuntos podem ser os próprios conjuntos. Sempre que tal coisa acontece, ou seja, temos uma coleção de conjuntos, devemos usar letras (como o F que usamos acima) para escrevê-las. Antes de prosseguir, vamos tentar obter uma coleção de conjuntos, onde os conjuntos serão construídos a partir de N.

Ex2: indexação de conjuntos

Consideremos, como nosso universo, o conjunto dos números naturais N e para cada número natural n ∈ N, tentamos coletar conjuntos (construídos a partir de N) que tenham todos os elementos de 1 a n. Isso significa dizer que coletamos conjuntos Sn para cada n. Aqui, se tentarmos dar diferentes símbolos (letras) a cada um desses conjuntos, ficaremos sem símbolos! Assim, tentamos “indexar” esses conjuntos. Ou seja, escrevemos Sn = {1, 2, ···, n}, onde se entende que à medida que n muda, os elementos do conjunto Sn também mudam. Portanto, S1 = {1}, S2 = {1, 2}, S3 = {1, 2, 3} e assim por diante. Assim, escrevemos nossa família de conjuntos como:

F = {Sn|n ∈ N}

Lê-se: a função ou família F é igual ao conjunto Sn tal que n pertence ∈ a N.

Aqui, dizemos que F é uma família de conjuntos indexada por N; o conjunto dos números naturais N é chamado de conjunto de índices e n é chamado de índice.

Conjuntos nem sempre são indexados por números naturais. Também podemos indexar conjuntos por outros conjuntos, como: inteiros, números racionais, números reais, ou mesmo por um conjunto que não é necessariamente um conjunto de números. Na maioria das vezes, consideraremos um conjunto de índice arbitrário, que denotamos por Λ (Letra grega Lambda Maiúscula ou λ minúscula, ao longo do texto), cujos elementos não são exatamente conhecidos por nós. Usaremos letras gregas maiúsculas para denotar conjuntos de índices arbitrários e as letras gregas pequenas (correspondentes) para denotar os elementos do conjunto de índices. Portanto, em geral, uma família indexada de conjuntos será escrita como:

F = {Aλ|λ ∈ Λ}

Antes de prosseguir, vamos tentar ver um tipo especial de coleção. Suponha que nosso universo seja o conjunto de todos os humanos que vivem na Terra. Suponha que uma pessoa como nós deseja coletar todos aqueles humanos que têm 5 mãos, 6 pernas e 4 caudas. Existe algum ser humano vivo na terra com essas configurações? A resposta é não! Então, nossa coleção não tem nenhum elemento. Um conjunto sem elementos é chamado de conjunto vazio e é denotado por . Uma pessoa com boa experiência em lógica pode fazer uma pergunta neste ponto: em todos os lugares foi escrito um (conjunto vazio). O uso de “um” é justificado? Em outras palavras, o conjunto vazio é único? Abordaremos essa questão mais tarde, depois de termos visto o suficiente sobre operações e igualdades de conjuntos.

Operações em conjuntos

Assim que tivermos os conjuntos, podemos começar a brincar com eles. A primeira coisa que podemos fazer neste momento é comparar dois conjuntos. Em primeiro lugar, abordaremos a questão: quando podemos dizer que dois conjuntos são iguais? No início, definimos nossos conjuntos como coleções. Primeiramente notamos que durante a coleta, não damos importância à ordem em que são coletados. Como resultado, os conjuntos {1, 2} e {2, 1} são os mesmos. O que observamos? Dados dois conjuntos X e Y, quando podemos dizer que eles são iguais? Uma resposta baseada em completa intuição e observação é: Sempre que todo elemento de X é um elemento de Y e todo elemento de Y é um elemento de X. A definição formal (matemática) de igualdade será dada um pouco mais tarde.

A próxima tarefa que podemos fazer é observar os conjuntos que definimos na seção acima. Se olharmos com atenção, todo número natural também é um número inteiro (positivo). Esses dois conjuntos são iguais? Intuitivamente, a resposta a esta pergunta é: Não! 0 é um desses elementos em Z (inteiros) que não é um número N (natural). No entanto, o conjunto dos números inteiros têm todos os elementos do conjunto dos números naturais. Neste caso, chamamos o conjunto dos números naturais de subconjunto do conjunto dos inteiros.

Agora estamos prontos para as definições formais de subconjunto e igualdade.

Obs: o número “0” Zero, foi inventado há mais ou menos 2600 anos, é por isso que não é considerado um número natural, muito cuidado para não fazer confusão entre Z (inteiros com 0) e N (naturais sem 0).

Subconjuntos

Um conjunto X é um subconjunto de um conjunto Y se ∀x ∈ X, x ∈ Y. Isto é denotado por X ⊆ Y.

Essa expressão é lida como: um conjunto X é um subconjunto de um conjunto Y se ∀x ∈ X, x ∈ Y (para todo x que pertence a X, x pertence a Y), significa que X ⊆ Y (X está contido ou é igual a Y).

Nota1: Se o conjunto Y tem pelo menos um elemento que não está em X, então X é chamado de subconjunto próprio de Y. Isso é denotado por X ⊂ Y ao longo da explicação.

Nota2: se X é um subconjunto de Y, então Y é chamado de superconjunto de X.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos X e Y são iguais se ∀x ∈ X, x ∈ Y e ∀y ∈ Y, y ∈ X. Isso é equivalente a X ⊆ Y e Y ⊆ X. A igualdade é denotada por X = Y.

Agora, tentamos construir mais conjuntos novos dos conjuntos que já temos. Dados quaisquer dois conjuntos X e Y, uma maneira de fazer um novo conjunto é coletar todos os elementos de X e todos os elementos de Y em uma única coleção, digamos Z. Assim, qualquer elemento de Z é de X ou de Y (ou mesmo ambos, se tiverem elementos em comum). Um conjunto formado dessa maneira é chamado de união de X e Y. Outra maneira de fazer um novo conjunto é coletar os elementos que estão em X e Y e colocá-los em uma única coleção, digamos U. Essa coleção é chamada de interseção de X e Y. Passamos agora para a definição formal de união e interseção.

Definições gerais

Um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se x ∈ A implicar x ∈ B, e escrevemos A ⊂ B. Ou seja, todos os membros de A também são membros de B. Às vezes escrevemos B ⊃ A que significar a mesma coisa.

Dois conjuntos A e B são iguais se A ⊂ B e B ⊂ A. Escrevemos A = B. Ou seja, A e B contêm exatamente os mesmos elementos. Se não for verdade que A e B são iguais, então escrevemos A ≠ B.

Um conjunto A é um subconjunto próprio de B se A ⊂ B e A ≠ B. Escrevemos A ⊊ B Lê-se: A está contido, mas não é igual a B.

Para o exemplo da Figura 2 acimaS e T -, T ⊂ S, mas T ≠ S. Então T é um subconjunto próprio de S (T ⊊ S, ilustrando o fato de que T é subconjunto de S ou, equivalentemente, que S é um superconjunto de T). Se A = B, então A e B são simplesmente dois nomes para o mesmo conjunto.

Uso de espaços construtores de conjuntos

Para definir conjuntos, muitas vezes usa-se a notação do “espaço” construtor de conjuntos:

{x ∈ A : P(x)}

Lê-se: x pertence a A, tal que, P(x) é verdadeiro, dentro do espaço que começa com {abre e fecha chaves}.

Esta notação refere-se a um subconjunto do conjunto A contendo todos os elementos de A que satisfazem a propriedade P(x). Usando S = {0, 1, 2} como acima, {x ∈ S:x ≠ 2} é o conjunto {0, 1}. A notação é às vezes abreviada como {x:P(x)}, ou seja, A não é mencionado quando entendido a partir do contexto. Além disso, x ∈ A às vezes é substituído por uma fórmula para facilitar a leitura da notação.

Exemplos de notações comuns para conjuntos

  • O conjunto dos números naturais, N:= {1, 2, 3, . . .}.
  • O conjunto de inteiros, Z:= {0, −1, 1, −2, 2, . . .}.
  • O conjunto dos números racionais, Q:= {m/n:m, n ∈ Z e n ≠ 0}.
  • O conjunto dos números naturais pares, {2m:m ∈ N}.
  • O conjunto dos números reais, R.
Figura 3. Observe que NZQR C (os Naturais N estão contidos nos Inteiros Z, contidos nos racionais Q, contido nos reais R, contidos nos C complexos).

Obs: montamos nossos conjuntos a partir da organização de conjuntos anteriores previamente estabelecidos.

União e interseção de conjuntos

União

Significa a associação ou combinação de vários elementos, semelhantes ou diferentes, com o intuito de formar um conjunto. Junção, ligação e conexão são alguns dos sinônimos da palavra união, e que nos ajudam a entender o significado amplo deste termo.

A união de dois conjuntos A e B é definida como:

A ∪ B:= {x:x ∈ A ou x ∈ B}

Lê-se: a união do conjunto A com o conjunto B, é igual ao espaço x tal que x pertente a A ou x pertence a B).

Interseção

Significa a operação sobre dois ou mais conjuntos de que resulta um conjunto com todos os elementos que são comuns.

A interseção de dois conjuntos A e B é definida como:

A ∩ B:= {x:x ∈ A e x ∈ B}

Lê-se: a interseção do conjunto A com o conjunto B, é igual ao espaço x tal que x pertente a A e x pertence a B).

Complementar

Que completa ou complementa. Acrescentar, adicionar o elemento que falta a alguma coisa. Receber o que completa ou conclui alguma coisa: completar um trabalho.

Um complemento de B em relação a A (ou diferença teórica de conjuntos de A e B) é definido como:

A\B:= {x:x ∈ A e x ∉ B}

ou

A − B = A ∩ Bc

Lê-se: o complementar de B em relação a A é igual ao espaço x tal que x pertence a A e x não pertence a B.

Dizemos complemento de B e escrevemos Bc em vez de A\B se o conjunto A é o universo inteiro ou se é o conjunto óbvio que contém B, e é entendido a partir do contexto.

B\A:= {x:x ∈ B e x ∉ A}

Lê-se: o complementar de A em relação a B é igual ao espaço x tal que x pertence a B e x não pertence a A.

Dizemos complemento de A e escrevemos Ac (quando aparece de forma isolada) em vez de B\A se o conjunto B é o universo inteiro ou se é o conjunto óbvio que contém A, e é entendido a partir do contexto.

Conjuntos disjuntos

Dois conjuntos são ditos disjuntos se não tiverem nenhum elemento em comum. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos se sua interseção for o conjunto vazio .

Dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos se A ∩ B = ∅.

Obs: a notação Bc (idem para Ac) pode ser um pouco vaga neste ponto. Se o conjunto B é um subconjunto dos números reais R, então Bc significa R\B. Se B é naturalmente um subconjunto dos números naturais, então Bc é N\B. Se uma ambiguidade pode surgir, usamos a notação de diferença de conjunto A\B (lê-se: A menos B).

Ex3:

Figura 4. Diagramas de Venn com operações de conjuntos, o resultado da operação é sombreado.

Operações com conjuntos

Ilustramos as operações nos diagramas de Venn na Figura 4. Vamos agora estabelecer um dos teoremas básicos sobre conjuntos e lógica.

Lei de Morgan. Sejam os conjuntos A, B, C. Então:

(B C)c = Bc Cc,

(B ∩ C)c = Bc ∪ Cc.

Ou, simplificando:

A \ (B C) = (A \ B) (A \ C),

A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).

Prova. A primeira afirmação é provada pela segunda afirmação se assumirmos que o conjunto A é nosso “universo”. Vamos provar A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C). Lembre-se da definição de igualdade de conjuntos. Primeiro, devemos mostrar que se x ∈ A \ (B ∪ C), então x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C). Em segundo lugar, devemos também mostrar que se x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C), então x ∈ A \ (B ∪ C). Então, vamos supor que x ∈ A \ (B ∪ C). Então x está em A, mas não em B nem em C. Portanto, x está em A e não em B, ou seja, x ∈ A \ B. Da mesma forma x ∈ A \ C. Assim x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C). Por outro lado, suponha que x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C). Em particular, x ∈ (A \ B), então x ∈ A e x ∉ B. Também como x ∈ (A \ C), então x ∉ C. Daí x ∈ A \ (B ∪ C).

No entanto, suponha que temos uma coleção infinita de conjuntos (um conjunto de conjuntos) {A1, A2, A3, . . .}. Nós definimos:

\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}:=\left\{x: x \in A_{n} \ para \ alguns \ n \in \mathbb{N}\right\}

Esta expressão é lida como: a união que começa em n = 1 e vai até ao infinito do conjunto An, é igual ao espaço x, tal que x ∈ pertence à An, para alguns n que pertencem ao conjunto N.

\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}:=\left\{x: x \in A_{n} \ para \ todos \ n \in \mathbb{N}\right\}

Esta expressão é lida como: a interseção que começa em n = 1 e vai até ao infinito do conjunto An, é igual ao espaço x, tal que x ∈ pertence à An, para todos os n que pertencem ao conjunto N.

Também podemos ter conjuntos indexados por dois números naturais. Por exemplo, podemos ter o conjunto de conjuntos {A1,1, A1,2, A2,1, A1,3, A2,2, A3,1, . . .}. Então escrevemos:

\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=1}^{\infty} A_{n, m}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{m=1}^{\infty} A_{n, m}\right)

E da mesma forma com os cruzamentos. Não é difícil ver que podemos tomar a união em qualquer ordem. No entanto, mudando a ordem de uniões e cruzamentos geralmente não é permitido sem prova. Por exemplo:

\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{m=1}^{\infty}{k \in N : m k<n}=\bigcup^{\infty} \emptyset=\emptyset

No entanto,

\bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=1}^{\infty}{k \in N : m k<n}=\bigcap_{m=1}^{\infty} N = N

Às vezes, o conjunto de índices não são os números naturais. Nesse caso, exigimos uma descrição mais geral da notação. Suponha que λ seja algum conjunto e para cada λ ∈ I, existe um conjunto . Então definimos:

\bigcup_{\lambda \in I} A_{\lambda}:=\left\{x: x \in A_{\lambda} \text { para alguns } \lambda \in I\right\}, \bigcap_{\lambda \in I} A_{\lambda}:=\left\{x: x \in A_{\lambda} \text { para todos } \lambda \in I\right\}

União e interseção arbitrárias

Dos conjuntos construídos a partir de R, para cada par, dado uma união e uma interseção. O que podemos observar?

As definições de união e interseção são feitas apenas para dois conjuntos. Mas, gostaríamos de fazer uma definição geral para uma coleção arbitrária de conjuntos cuja união e interseção precisamos encontrar. Simplesmente estendendo as definições (cuja origem é nossa intuição), obtemos as seguintes definições para uniões e interseções de famílias arbitrárias de conjuntos.

União arbitrária

Dado uma família arbitrária de conjuntos indexados F = {Aλ|λ ∈ Λ} a união desta família é a coleção de elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos da família. Nós a escrevemos como:

\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}=\left\{x \mid \exists \lambda_{0} \in \Lambda \text { tal que } x \in A_{\lambda_{0}}\right\}

Interseção arbitrária

Dada uma família arbitrária de conjuntos indexados: F = {Aλ|λ ∈ Λ} a interseção desta família é a coleção de elementos que estão em todos os conjuntos da família. Nós o escrevemos como:

\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}=\left\{x \mid \forall \lambda \in \Lambda, x \in A_{\lambda}\right\}

Como observado no Ex:02 acima, podemos ver que a interseção de alguns conjuntos pode ser o conjunto vazio, ou seja, pode haver conjuntos X e Y tais que X ∩ Y = ∅. Tais conjuntos são chamados disjuntos. Em particular, o leitor deve ter observado que Q+ e Q são disjuntos. Se tomarmos a união de tais conjuntos (cuja interseção é vazia), a união é chamada de união disjunta. Como observação imediata, podemos concluir que Q é a união disjunta de Q+ e Q. Da mesma forma, se F = {Aλ|λ ∈ Λ} é uma família indexada arbitrária, então F é uma família disjunta se:

\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}=\emptyset

Aqui, podemos ter outro conceito, muitas vezes chamado de disjunção de pares. Diz-se que a família F é disjunta aos pares se:

∀λ1, λ2 ∈ Λ com λ1 ≠ λ2, temos Aλ1 ∩ Aλ2 = ∅

Complementares estendidos (complemento relativo ou diferença)

Outra maneira de obter novos conjuntos dos antigos é coletar todos os elementos que não estão no conjunto fornecido. Chamamos essa coleção de complemento do conjunto dado. Dado um conjunto A, seu complemento é a coleção de elementos que não estão em A. Nós o escrevemos como:

A^{c}={x \mid x \notin A}

Aqui, devemos notar que não conhecemos nada “fora” do nosso universo do discurso (UDM). Portanto, para definir um complemento, precisamos de um conjunto universal. Nós o chamamos, por enquanto, de U. Como não sabemos o que está fora de U; claramente, Uc = ∅ e também, c = U, já que nenhum dos elementos de U está em . Assim, uma melhor maneira de escrever complementos é:

Ac = {x ∈ U|x ∉ A}

Lê-se: o conjunto complementar de A é igual ao espaço x que pertence ao conjunto U, tal que x não pertence ao conjunto A.

Além de receber complementos, uma maneira de obter novos conjuntos de dois conjuntos A e B é coletando os elementos que estão apenas em um dos conjuntos e não em outro. Chamamos isso de complemento relativo ou diferença de conjuntos.

Diferenças entre problemas na física e problemas matemáticos

Figura 5. Problemas da física x problemas da matemática.

No diagrama da figura 5, podemos observar a diferença de um problema físico que tem 100% de realidade, comparado a um problema matemática que tem 100% de abstração. Resolver um problema do mundo físico diretamente é difícil, então precisamos fazer a abstração (intuir o problema) e realizar a simulação com possibilidades infinitas dentro do escopo {espaços} da matemática. Quando atingimos o nível da demonstração (todas as equações resolvidas), podemos partir para o campo da física e colocar em prática a nossa solução. Somente após os testes na prática é que teremos a comprovação (experiência) de que a solução física foi encontrada. {RC}.

O matemático está envolvido num jogo do qual ele mesmo escreve as regras, enquanto o físico joga com as regras fornecidas pela natureza.

Paul Adrien Maurice Dirac.

Sugestões de leituras

Amalie Emmy Noether (Erlangen, 23 de março de 1882 – Bryn Mawr, 14 de abril de 1935) foi uma matemática alemã, conhecida pelas suas contribuições de fundamental importância aos campos da física teórica e álgebra abstrata. Considerada por David Hilbert, Albert Einstein, Hermann Weyl e outros como a mulher mais importante na história da matemática. Ela revolucionou as teorias sobre anéis, corpos e álgebra. Em física, o teorema de Noether explica a conexão fundamental entre a simetria na física e as leis de conservação.

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Terence Tao. Em fevereiro de 2007, converti minha página de atualizações de pesquisa “O que há de novo” em um blog em terrytao.wordpress.com. Desde então, este blog cresceu e evoluiu para cobrir uma ampla variedade de tópicos matemáticos, desde minhas próprias atualizações de pesquisa até palestras e postagens de outros matemáticos, problemas abertos, anotações de aula, artigos expositivos em níveis básicos e avançados. Boa Leitura!

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Lembre-se: a matemática é a ciência embarcada em todas as atividades humanas, desde o surgimento da escrita, nas tecnologias aeroespaciais, computadores analógicos, digitais, quânticos e principalmente nas criptomoedas que em breve substituirão toda a reserva de valor na economia mundial, sendo a mais importante cripto, Bitcoin. {RC}.

Referências bibliográficas