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Perelman postou três pré-impressões mostrando como usar argumentos geométricos, em particular o fluxo de Ricci como introduzido e estudado por Richard Hamilton, para resolver a Conjectura de Poincaré de forma afirmativa. Este livro fornece detalhes completos de uma prova completa da Conjectura de Poincaré seguindo os três artigos de Perelman. Depois de uma longa introdução que descreve todo o argumento; o livro é dividido em quatro partes:

1. A primeira parte analisa os resultados necessários de geometria Riemanniana e fluxo de Ricci, incluindo bastante dos trabalhos de Hamilton;
2. A segunda parte inicia-se com a função de comprimento Perelman, que é usado para estabelecer teoremas não colapso cruciais. Em seguida, discute-se a classificação de não-colapso, soluções antigas para a equação do fluxo de Ricci.
3. A terceira parte diz respeito à existência do fluxo de Ricci com cirurgia para sempre positivo e uma análise das alterações topológicas e geométricas introduzidas pela cirurgia.
4. A última parte segue a terceira pré-impressão de Perelman, provando que quando o Riemanniano da 3ª varieade inicial tem grupo fundamental finito, o fluxo de Ricci com cirurgia torna-se extinto após o tempo finito.

Créditos: Cameron Slayden/Science

As provas da Conjectura de Poincaré foram confirmadas com a aplicação do fluxo de Ricci na 3ª dimensão da esfera. A existência do fluxo de Ricci com cirurgia tem aplicação das 3 variedades para muito além da Conjectura de Poincaré. Ele forma o coração da comprovação via fluxo de Ricci da geometrização das conjecturas Thurstons. A Geometrização da Conjectura de Thurstons, que classifica todos os compactos de 3 variedades, será o tema de um artigo de acompanhamento. A organização do material deste livro é diferente da que foi dada por Perelman. Desde o início os autores apresentam todos os argumentos analíticos e geométricos no contexto do fluxo de Ricci com cirurgia. Além disso, a quarta parte é uma versão ampliada de Perelman na terceira pré-impressão, que dá a primeira prova completa e detalhada da extinção do teorema em tempo finito. Com a grande quantidade de material de fundo que é apresentada e as versões detalhadas dos argumentos centrais, este livro é adequado para todos os matemáticos e estudantes de graduação avançados, e especialistas em geometria e topologia.

O que é topologia?

No entanto, a resolução do problema das sete pontes de Königsberg por Leonard Euler em 1736 é considerada como sendo um dos primeiros resultados topológicos. Este é um exemplo de problema que liga diferentes áreas da matemática, neste caso a topologia com a teoria dos grafos.

O estudo dos espaços de funções, realizados por matemáticos notáveis como Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, entre outros, culmina com o trabalho de Maurice Fréchet, que introduziu a noção de espaço métrico, muitas de suas características lembrando o Rn. Atualmente os espaços métricos são considerados casos específicos, mas muito importantes, de uma classe mais geral conhecida como espaços topológicos.

A formalização do conceito de espaço topológico é devida a Felix Hausdorff que definiu em 1914 o que hoje é conhecido como espaço de Hausdorff. Como se vê pela própria definição dada abaixo, a topologia moderna se baseia fortemente na teoria dos conjuntos, assim como a maior parte da matemática. O conceito final de espaço topológico é um pouco mais geral que o conceito de espaço de Haussdorf e foi introduzido posteriormente por Kazimierz Kuratowski em 1922.

Henri Poincaré introduziu em seu livro “Analysis Situs” de 1895 os conceitos de homotopia e homologia, sendo considerado o marco de criação da topologia algébrica. O interesse no estudo da topologia algébrica inclui a percepção que alguns problemas topológicos são mais tratáveis que problemas algébricos, entre eles está mostrar que Rn, não é topologicamente equivalente (homeomorfo) a Ra se a é diferente de n.

Homeomorfismo

Dois espaços topológicos dizem-se homeomorfos se existir uma aplicação entre esses espaços que seja contínua, invertível e a sua inversa seja contínua.

• Na linguagem da teoria das categorias, um morfismo entre espaços topológicos é uma função contínua entre eles.
• Um isomorfismo, chamado de homeomorfismo, portanto, é um morfismo que tem um morfismo inverso.
• Um isomorfismo entre espaços topológicos é também conhecido como homeomorfismo bijetor, da função bijetora que preserva a estrutura topológica envolvida.

Fonte: Wikipédia
Fonte: Arxiv.org
Fonte: Sciencemag