Livro da prova (Book of Proof Third Edition) – Richard Hammack

O livro Book of Proof (Livro da Prova), é um dos melhores livros que já li sobre como compreender e aplicar a matemática do vazio { } na aquisição de conhecimento. Considero este livro o mais didático possível para compreender espaços e subespaços matemáticos – traz um conhecimento bem fundamentado sobre o estudo do conjunto vazio { }, que é obrigatório para a compreensão de sistemas complexos tais como: tecnologias atuais, estudos da simulação física, molecular, cerebral, redes neurais convolucionais biológicas e artificiais, cosmologia, física de partículas, mecânica quântica, inteligências artificiais, buracos negros, etc.

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{RC}

Segue exemplos do tratamento do conjunto vazio ∅ ou {}

Existe um conjunto especial que, embora pequeno, desempenha um grande papel. Um conjunto vazio ∅ ou {} é o conjunto que não possui elementos. Nós o representamos como ∅, então ∅ = {}. Sempre que você vir o símbolo ∅, ele representa {}. Observe que |∅| = 0. O conjunto vazio é o único conjunto cuja cardinalidade (número de elementos do conjunto) é zero. Tenha cuidado ao escrever o conjunto vazio. Não escreva {∅} quando você quer dizer ∅. Esses conjuntos não podem ser iguais porque ∅ não contém nada enquanto {∅} contém uma coisa – a saber – o conjunto vazio. Se isso é confuso, pense em um conjunto como uma caixa com coisas dentro; então, por exemplo, {2,4,6,8} é uma “caixa” contendo quatro números. O conjunto vazio ∅ = {} é uma caixa vazia. Em contraste, {∅} é uma caixa com uma caixa vazia dentro dela. Obviamente, há uma diferença: uma caixa vazia não é o mesmo que uma caixa com uma caixa vazia dentro dela. Assim ∅ ≠ {∅}. (Vocês também podem observar |∅| = 0 e ∣{∅}∣ = 1 como evidência adicional de que ∅ ≠ {∅}.

Aplicação prática

Exemplo 1

F = {∅,{∅},{{∅}}}

Como ler essa expressão: F é um conjunto que contém 3 coisas. Essa analogia com uma caixa pode nos ajudar a pensar sobre os conjuntos. O conjunto F = {∅,{∅},{{∅}}} pode parecer estranho, mas é realmente muito simples. Pense nisso como uma caixa contendo três coisas: uma caixa vazia, uma caixa contendo uma caixa vazia e uma caixa contendo uma caixa contendo uma caixa vazia. Assim a cardinalidade (contagem) |F| = 3. O conjunto G = {N, Z} é uma caixa contendo duas caixas, a caixa dos números naturais e a caixa dos números inteiros.

Exemplo 2

Suponha que A = {a} e B = {a, b}. Então, a diferença A∖B = {a} ∖ {a, b} = {} = ∅

A\B = {x ∈ A|x ∉ B } é o conjunto de elementos de A que não estão em B, também podemos denominar: o complementar de B em relação à A.

A diferença de A e B é o maior subconjunto de A que não contém nenhum dos elementos de B.

Como o conjunto vazio {} é um subconjunto de cada conjunto, esse é um resultado possível da subtração de dois conjuntos um do outro. Em particular, o resultado de A∖B ocorre, se e somente se A⊆B, ou (equivalentemente) se A∪B = A.

Supremo e Ínfimo do conjunto vazio ∅ ou { }

Um conjunto de números reais S é limitado acima se houver um número real M tal que x ≤ M para cada x ∈ S. Qualquer número M é chamado de limite superior para S. A definição de limitado abaixo é semelhante, e dizemos que S é limitado se for limitado acima e abaixo.

Um número x ∈ R é o supremo, ou menor limite superior de S, se x é um limite superior para S, e se y for qualquer limite superior para S, então x ≤ y.

Para o supremo, escolha um número real com a propriedade de que não existe um elemento do conjunto que o exceda. Como o conjunto está vazio, qualquer número real serve, agora comece a empurrar o número cada vez mais abaixo até que a condição seja violada. Como não há nenhum elemento do conjunto para violar a condição, você pode continuar empurrando-o cada vez mais para baixo indefinidamente – então o supremo é o “menor” valor possível −∞, raciocínio semelhante justifica que o mínimo seja + ∞. Isso é puramente heurístico.

Concordo que é contraintuitivo, é o único caso em que o supremo é menor que o ínfimo. No entanto, isso decorre da definição. Uma maneira de pensar sobre isso é que o supremo de um conjunto S é o que obtemos se pegarmos um ponto e arrastá-lo para baixo de ∞ até que ele não possa ir mais abaixo sem atingir S e o ínfimo é o que acontece se tomarmos um ponto e arrastá-lo de −∞ até que atinja S. Ou seja, meio que imaginamos S como um bloco intransitável de coisas cujo supremo e ínfimo, estão presos nas laterais dele. Mas se não há S, então não há bloqueio, e conforme prendemos esses pontos juntos, eles simplesmente passam um através do outro e continuam – eles sempre tiveram movimento para dentro, mas agora nada os impede, então eles acabam em −∞ e ∞ respectivamente, tanto quanto possível.

Uma vez que todo número real x é um limite superior para ∅, x ≥ sup ∅ para todo x ∈ R. Portanto o sup ∅ = −∞. Raciocínio semelhante fornece inf ∅ = + ∞.

Dizemos que x é o supremo de um conjunto S se x for o menor limite superior de S. Ou seja, x ≥ S para todos s ∈ S e x ≤ y para qualquer y que seja um limite superior de S. Portanto, se considerarmos ∅, todo x ∈ R é um limite superior de ∅. Portanto, o supremo de ∅ deve ser o min (R), que geralmente é −∞. Podemos raciocinar da mesma forma para o ínfimo.

Resumo de supremo e ínfimo do conjunto vazio = ∅ = { }

Considerando os reais estendidos, Re = R ∪ {− ∞, + ∞} podemos obter:

Se considerarmos ∅, todo x ∈ R um limite superior de ∅. Portanto, o supremo de ∅ deve ser o min (R), que geralmente é −∞.

Se considerarmos ∅, todo x ∈ R um limite inferior de ∅. Portanto, o ínfimo de ∅ deve ser o max (R), que geralmente é +∞.

sup ∅ = min ( { − ∞ , + ∞ } ∪ R ) = − ∞

inf ∅ = max ( { − ∞ , + ∞ } ∪ R ) = + ∞

Exemplo: ∅ ⊆ ∅

O conjunto vazio é um subconjunto de todos os conjuntos, ou seja ∅ ⊆ B para qualquer conjunto B.

Isso nos leva a um fato significativo: Se B for qualquer conjunto, então ∅ ⊆ B. Para ver por que isso é verdade, observe a frase da figura 1. Isso nos diz que: se ∅ não estivesse contido em B significaria que há pelo menos um elemento em ∅ que não é um elemento de B. Mas isso não pode ser verdade, porque não existem elementos em vazio.

Figura1. Se um conjunto finito possui n elementos, então ele possui 2^{n} subconjuntos, sendo obrigatório o ∅ fazer parte dele, ou seja, sua origem é o conjunto vazio { } = ∅.

{RC}.

Notas do autor do livro: Richard Hammack

Meu objetivo ao escrever este livro foi criar um livro didático de alta qualidade. O livro pode ser baixado em formato PDF gratuitamente, e a versão impressa custa consideravelmente menos do que livros tradicionais comparáveis.

Nesta terceira edição, o Capítulo 3 (sobre contagem) foi expandido, e um novo capítulo sobre provas de cálculo foi adicionado. Novos exemplos e exercícios foram adicionados por toda parte. Minhas decisões em relação às revisões foram guiadas por comentários da Amazon e e-mails de leitores, e estou grato por todos os comentários.

Tenho me esforçado para garantir que a terceira edição seja compatível com a segunda. Os exercícios não foram reordenados, embora alguns tenham sido editados para maior clareza e alguns novos foram anexados. (A única exceção é que a reorganização do Capítulo 3 mudou alguns exercícios.) O capítulo sequenciamento é idêntico entre as edições, com uma exceção: o final do capítulo sobre cardinalidade tornou-se o capítulo 14, a fim de abrir caminho para o novo Capítulo 13 sobre provas de cálculo. Houve uma ligeira renumeração das seções nos capítulos 10 e 11, mas a numeração dos exercícios dentro das seções não foi alterada.

O núcleo deste livro é uma expansão e refinamento das notas de aula I desenvolvida durante o ensino de cursos de provas ao longo dos últimos 18 anos na Virgínia Commonwealth University (uma grande universidade estadual) e Randolph-Macon College (uma pequena faculdade de artes liberais). Eu encontrei as necessidades desses dois públicos quase idênticos, e escrevi este livro para eles. Mas estou atento a uma audiência maior. Eu acredito que este livro é adequado para quase todos os alunos de graduação em matemática.

O não entendimento do Vazio { } causa uma grave falha perceptiva: a crença em inexistentes, e como essa crença é nula (PCI = nulo), as pessoas que não sabem que são simulações de seus cérebros e pensam que existe algo oculto na natureza – não importa com que designação ou afirmação retratem isso – provocará uma desilusão e involução devastadora em suas vidas.

A não percepção do Vazio { } pode provocar a nulidade em sua simulação.

{RC}.

Créditos:

Referências bibliográficas

Matemática do Vazio (resolva equívocos e pense com clareza!)

O ser humano alcançará o máximo estágio evolutivo após conseguir superar todas as crenças em todo tipo de inexistentes, quando alcançarmos essa meta, saberemos de forma permanente que não poderá existir espaços/subespaços sem que o vazio não esteja presente. E não importa quão grande seja nosso universo, o vazio existe em todos os espaços. O vazio é um autovalor e autovetor em todos os espaços de conhecimento.

Sabemos que o conjunto ∅ existe, é contável e bem fundado. Se algo não puder ser contado é nulo e não poderá fazer referências ao conhecimento!

O produto da crença em inexistentes é sempre nulo.

PCI = NULL {nulo}.

{RC}

Quem tem por que viver, suporta qualquer como.

{Nietzsche}

O vazio é origem de tudo, caso você se sinta vazio, não se preocupe, esta é a melhor oportunidade para recomeçar!

{RC}

Característica do conjunto ∅

O conjunto vazio é um subconjunto de A.
∀A: ∅ ⊆ A
A união de A com o conjunto vazio é A.
∀A: A U ∅ = A
A interseção de A com o conjunto vazio é o conjunto vazio.
∀A: A ∩ ∅ = ∅
O produto cartesiano de A e o conjunto vazio é o conjunto vazio.
∀A: A × ∅ = ∅
O conjunto vazio possui as seguintes propriedades
Seu único subconjunto é o próprio conjunto vazio.
∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
O conjunto de potência do conjunto vazio é o conjunto que contém apenas o conjunto vazio:
2^∅ = {∅}
Seu número de elementos (isto é, sua cardinalidade) é zero:
|∅| = 0
Uma soma vazia é zero:
Soma {{}} = 0
Um produto vazio é um:
Produto {{}} = 1
Uma permutação vazia também é um:
0! = 1

Exemplo 1

Existe um conjunto vazio ∅ que não contém elementos. Para todos 𝑥, a declaração 𝑥 ∈ ∅ é falsa. Em particular, para cada conjunto 𝐴 a implicação lógica “𝑥 ∈ ∅ implica 𝑥 ∈ 𝐴” é vazia (tem uma hipótese falsa).

Consequentemente, ∅ ⊆ 𝐴 é verdadeiro para todos em 𝐴.

Observação

Créditos imagem: Pngwig.

O conjunto vazio é único: se ∅ e ∅’ são conjuntos sem elementos, então ∅ ⊆ ∅’ e ∅’ ⊆ ∅ são ambos verdadeiros, então ∅ = ∅’.

Em matemática, sempre restringimos nossa atenção aos conjuntos contidos em um conjunto fixo 𝒰, chamado universo. Os subconjuntos específicos de 𝒰 são convenientemente descritos usando a notação do construtor de conjuntos, na qual os elementos são selecionados de acordo com as condições lógicas formalmente conhecidas como predicados.

A expressão {𝑥 em 𝒰|𝑃(𝑥)} é lida “o conjunto de todos 𝑥 em 𝒰 de modo que 𝑃(𝑥)”.

Exemplo 2

A expressão {𝑥 em Y|𝑥 > 0}, lida como “o conjunto de todos os 𝑥 em Y de modo que 𝑥 > 0”, especifica o conjunto de + números inteiros positivos.
Para personificar, se 𝒰 é uma população cujos elementos são indivíduos, um subconjunto 𝐴 de 𝒰 é um clube ou organização, e o predicado que define 𝐴 é um cartão de sócio. Examinamos indivíduos 𝑥 para associação 𝐴 verificando se 𝑥 carrega ou não o cartão de associação para 𝐴; ou seja, se 𝑃(𝑥) é verdadeiro ou não.

Exemplo 3

Não pode existir nenhum “conjunto 𝒰 de todos os conjuntos”. Se existisse, o conjunto 𝑅 = {𝑥 em 𝒰|𝑥 ∉ 𝑥}, compreendendo todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos, teria a propriedade que 𝑅 ∈ 𝑅 se e somente se 𝑅 ∉ 𝑅. Essa contradição é conhecida como paradoxo de Russell, formulada pelo lógico inglês Bertrand Russell.

Obs: Não confunda o conjunto vazio com o número zero!

Ex: o conjunto {0} ≠ 0 porque {0} é um conjunto com um elemento, ou seja, {{}}, enquanto 0 é apenas o símbolo que representa o número zero.

Exemplo 4

A expressão {𝑥 em Y|𝑥 = 2𝑛 para alguns 𝑛 em Y} é o conjunto de números pares. Muitas vezes, denotamos esse conjunto em 2Y, com a ideia de que o número inteiro geral resulta da multiplicação de algum número inteiro por 2. Da mesma forma, o conjunto de números inteiros ímpares pode ser expresso como 2Y + 1 = {𝑥 em Y|𝑥 = 2𝑛 + 1 para alguns 𝑛 em Y}.

Von Neumann definição de ordinais (cardinalidade)

Na matemática, particularmente na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o universo de von Neumann, hierarquia de von Neumann dos conjuntos, ou hierarquia cumulativa, abreviado V, é uma classe definida por recursão transfinita: a classe dos conjuntos hereditariamente bem fundados. V é o modelo mais aceito da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, pelo qual pode ser entendido intuitivamente como a classe de todos os conjuntos.

Definição de V

Representação transfinita de Von Newman. (créditos imagem: http://www.pngwing.com).

V é definida por recursão transfinita.

O primeiro nível é o conjunto vazio:

\displaystyle \huge V_{0}:=\emptyset

Para um ordinal α, sendo {\displaystyle {\mathcal {P}}(x)} o conjunto das partes de  x :

\displaystyle \huge V_{\alpha+1}:=\mathcal{P}\left(V_{\alpha}\right)

Para um ordinal limite β:

\displaystyle \huge V_{\beta}:=\bigcup_{\alpha<\beta} V_{\alpha}

É importante ressaltar que existe uma fórmula {\displaystyle \phi (x,\alpha )} da linguagem da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que representa {\displaystyle x\in V_{\alpha }}.

Uma definição alternativa às três últimas, está dada pela fórmula:

Para β um ordinal:

\displaystyle \huge V_{\beta}:=\bigcup_{\alpha<\beta} \mathcal{P}\left(V_{\alpha}\right)

Finalmente, sendo V a união de todos os Vα:

\displaystyle \huge \mathrm{V}:=\bigcup_{\alpha \in \mathrm{O} n} V_{a}

O uso do símbolo de união na última linha constitui um abuso da linguagem, de modo que {\displaystyle x\in \mathbf {\mathsf {V}} } deve ser interpretado como “existe um ordinal \alpha tal que {\displaystyle x\in V_{\alpha }}.

Note-se que para cada ordinal α, Vα é um conjunto; porém V não é um conjunto.

A denominação hierarquia cumulativa é usada pois V está definida sobre os ordinais, de modo que:

Assim podemos resumir o que foi dito acima da seguinte forma:

  • 0 = ∅ = {} Um conjunto vazio ou sem elementos.
  • 1 = 0 U {0} = {∅} = {{}} Um conjunto contendo um conjunto vazio.
  • 2 = 1 U {1} = {0,1} = {∅,{∅}} = {{},{{}}} Um Conjunto contendo 2 conjuntos vazios.
  • 3 = 2 U {2} = {0,1,2} = {∅,{∅},{∅,{∅}}} = {{},{{}},{{},{{}}} Um conjunto contendo 3 conjuntos vazios.
  • 4 = 3 U {3} = {0,1,2,3} = {∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}} = {{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}} Um conjunto contendo 4 conjuntos vazios.
  • n = n−1 U {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}}, etc.

A conexão entre o conjunto vazio e o zero é ampla: na definição teórica padrão dos números naturais, os conjuntos são usados para modelar os números naturais. Neste contexto, 0 (zero) é modelado pelo conjunto vazio.

Divisão, multiplicação, Zero e Vazio

  • 1⋅0^3 = 1⋅0⋅0⋅0 = 0
  • 1⋅0^2 = 1⋅0⋅0 = 0
  • 1⋅0^1 = 1⋅0 = 0
  • 1⋅0^0 = 1

Pela definição de subconjunto, o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto A. Ou seja, todo elemento x de ∅ pertence a A. De fato, se não fosse verdade que todos os elementos de ∅ estão em A, haveria pelo menos um elemento de ∅ que não está presente em A. Como não há elementos de ∅ de maneira alguma, não há nenhum elemento de ∅ que não esteja em A. Qualquer declaração que comece “para todo elemento de ∅ não está fazendo nenhuma reivindicação substantiva; é uma verdade vazia. Isso é parafraseado frequentemente como “tudo se aplica aos elementos do conjunto vazio”.

Operações com o conjunto

Quando se fala da soma dos elementos de um conjunto finito, inevitavelmente se leva à convenção de que a soma dos elementos do conjunto vazio é zero. A razão para isso é que zero é o elemento de identidade para adição. Da mesma forma, o produto dos elementos do conjunto vazio deve ser considerado um, pois um é o elemento de identidade para multiplicação.

Soma Vazia

Na matemática a soma vazia é o resultado da adição de nenhum número, como em um somatório, por exemplo. Seu valor numérico é 0, o elemento neutro da adição. Este fato é especialmente útil na matemática discreta e na álgebra. Um caso simples, bastante conhecido é o caso em que:

0 × a = 0

isto é, a multiplicação de um número a qualquer por zero sempre é igual a zero, porque foram adicionadas zero cópias de a.

A soma vazia pode ser comparada com o produto vazio – a multiplicação de nenhum número – cujo valor não é zero, mas 1, o elemento neutro da multiplicação.

Por exemplo:

Soma {{1,2,3}} = Soma{{1,2}} + 3 = Soma {{1}} + 2 + 3 = Soma {{}} + 1 + 2 + 3 = 0 + 1 + 2 + 3

Em geral, define-se:

Soma {{}} = 0

e,

Produto vazio

Na matemática, um produto vazio ou produto nulo é o resultado da multiplicação de nenhum número. Seu valor numérico é 1, o elemento neutro da multiplicação, assim como o valor da soma vazia – o resultado da soma de nenhum número – é 0; isto é, o elemento neutro da adição. Este valor é necessário para a consistência da definição recursiva de um produto sobre uma sequência (ou conjunto, devido a propriedade comutativa da multiplicação).

Por exemplo:

Prod {{1,2,3}} = Prod{{1,2}} x 3 = Prod {{1}} x 2 x 3 = Prod {{}} x 1 x 2 x 3 = 1 x 1 x 2 x 3

Em geral, define-se:

Prod {{}} = 1

e,

Permutação Vazia

Em matemática, especialmente na álgebra abstrata e áreas relacionadas, uma permutação é uma bijeção, de um conjunto finito X nele mesmo. Em combinatória, o termo permutação tem um significado tradicional, que é usado para incluir listas ordenadas sem repetição, mas não exaustivas (portanto com menos elementos do que o máximo possível). O conceito de permutação expressa a ideia de que objetos distintos podem ser arranjados em inúmeras ordens diferentes.

Um desarranjo é uma permutação de um conjunto sem pontos fixos. O conjunto vazio pode ser considerado uma permutação de si mesmo, porque tem apenas uma permutação (0! = 1), e é vacuamente verdade que nenhum elemento (se pode encontrar no conjunto vazio) que mantém sua posição original.

Ex:

1! = 1, pois 1! = 1

0! = 1!/1 = 1

Leitura recomendada

Recomendo o livro ao lado: Medida, Integração e Real Análise, edição 27/02/2022 de Sheldon Axler, um excelente livro para a continuidade dos estudos em análise matemática. Ao ler o livro você se sentirá como Alice no País das Maravilhas da matemática. Ao clicar na capa do livro o Download começará. Compartilhe com todos seus amigos. Não há restrição de idade ou grau educacional. Saber ler em inglês é o suficiente para os estudos, boa leitura. {RC}.

Este livro é uma introdução à linguagem e aos métodos de prova padrão da matemática. É uma ponte dos cursos computacionais (como cálculo ou equações diferenciais) que os alunos normalmente encontram no primeiro ano de faculdade para uma perspectiva mais abstrata. Estabelece uma base para cursos mais teóricos: como topologia, análise e álgebra abstrata. Embora possa ser mais significativo para o aluno que tem algum cálculo, não há realmente nenhum (apenas saber ler em inglês) pré-requisito além da vontade de aprender matemática. Clique na capa e o download começará!{RC}.

Lembre-se, quando você afirmar: não há nada lá! O lá pode estar vazio { }. 😉

Referências Bibliográficas