Plimpton 322 é um tablete de argila parcialmente quebrado medindo cerca de 13 centímetros de largura, 9 centímetros de altura, e 2 centímetros de espessura.
Origem do tablete Plimpton 322
O editor nova-iorquino George A. Plimpton comprou o tablete a partir de um vendedor de arqueologia, Edgar J. Banks, provavelmente em 1922, e o doou com o resto de sua coleção para Columbia University, no meio da década de 1930. De acordo com os Banks, os tabletes vieram de Senkereh, um local ao sul do Iraque correspondente à antiga cidade de Larsa.
Acredita-se que tenha sido escrito por volta de 1800 AEC (antes da era comum), baseado em parte no estilo utilizado na escrita cuneiforme: Robson (2002) afirma que esta forma de escrita “é típica de documentos do sul do Iraque de 4000–3500 anos atrás”. Mais especificamente baseando-se em similaridades de formato com outros tabletes de Larsa que possuem datas explícitas, Plimpton 322 pode ser datado entre o período de 1822–1784 AEC.
Foram encontrados aproximadamente meio milhão de tabletes (tabelas) de argila babilônicas escavadas desde o início do Século XIX, sendo que milhares são de natureza matemática. Provavelmente o mais famoso destes exemplos de matemática babilônica seja a tabela Plimpton 322, referindo-se ao fato de ter o número 322 na coleção G.A. Plimpton da Columbia University. Esta tabela, acredita-se ter sido escrita no Século XVIII AEC (antes da era comum), possui uma tabela de 4 colunas e 15 linhas de números em escrita cuneiforme do período. Pesquisadores de Sydney, em 2017, concluíram que as quatro colunas e as 15 fileiras de cuneiformes representam a tabela de trabalho trigonométrico mais antiga e mais precisa do mundo, uma ferramenta de trabalho que poderia ter sido usada na topografia e no cálculo de templos, palácios e pirâmides.
Os números
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A |
B (LARGURA) |
C (DIAGONAL) |
D |
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1.59:00:15 = 1.983402777777778 |
1:59 = 119 |
2:49 = 169 |
1 |
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1.56:56:58:14:50:06:15 = 1.949158552088692 |
56:07 = 3367 |
1:20:25 = 4825 |
2 |
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1.55:07:41:15:33:45 = 1.918802126736111 |
1:16:41 = 4601 |
1:50:49 = 6649 |
3 |
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1.53:10:29:32:52:16 = 1.886247906721536 |
3:31:49 = 12709 |
5:09:01 = 18541 |
4 |
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1.48:54:01:40 = 1.815007716049383 |
1:05 = 65 |
1:37 = 97 |
5 |
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1.47:06:41:40 = 1.785192901234568 |
5:19 = 319 |
8:01 = 481 |
6 |
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1.43:11:56:28:26:40 = 1.719983676268861 |
38:11 = 2291 |
59:01 = 3541 |
7 |
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1.41:33:45:14:03:45 = 1.692709418402778 |
13:19 = 799 |
20:49 = 1249 |
8 |
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1.38:33:36:36 = 1.642669444444444 |
8:01 = 481 |
12:49 = 769 |
9 |
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1.35:10:02:28:27:24:26:40 = 1.586122566110349 |
1:22:41 = 4961 |
2:16:01 = 8161 |
10 |
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1.33:45 = 1.5625 |
45 |
1:15 = 75 |
11 |
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1.29:21:54:02:15 = 1.489416840277778 |
27:59 = 1679 |
48:49 = 2929 |
12 |
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1.27:00:03:45 = 1.450017361111111 |
2:41 = 161 |
4:49 = 289 |
13 |
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1.25:48:51:35:06:40 = 1.430238820301783 |
29:31 = 1771 |
53:49 = 3229 |
14 |
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1.23:13:46:40 = 1.38716049382716 |
28 |
53 |
15 |
O conteúdo principal do Plimpton 322 é uma tabela de números, com quatro colunas e quinze linhas, em notação sexagesimal babilônica. A quarta coluna é apenas uma linha de números em ordem de 1 a 15. Com exceção da quarta coluna, os números das três colunas restantes correspondem aos cálculos trigonométricos de um triângulo retângulo a² + b² = c².
Interpretações matemáticas
Blogado anteriormente por Anthony Dekker segue tradução abaixo:
Contendo quatro colunas de números, escritas na base 60 (com um pequeno número de erros, bem como alguns números faltando por danos – estes são corrigidos abaixo). Por exemplo, 1,59: 00: 15 = 1 + 59/60 + 0/3600 + 15/216000 = 1,983402777777778.
A coluna B do quadrado (com uma etiqueta no quadrado contendo a palavra “largura”) é um dos lados de um triângulo pitagórico, e a coluna C (com uma etiqueta no quadrado contendo a palavra “diagonal”) é a hipotenusa, tal que C² – B² é sempre um quadrado perfeito (amarelo no diagrama). A coluna A é exatamente igual a C² / (C² – B²), a proporção de azul para amarelo.
O que essa tabela representa?
Uma boa discussão é de Eleanor Robson [“Palavras e imagens: nova luz sobre Plimpton 322”, American Mathematical Monthly, 109 (2): 105–120]. Robson acredita que Plimpton 322 se encaixa na matemática babilônica padrão e interpreta isso como um esforço do professor para produzir uma lista de problemas de classe.
Especificamente, Robson acredita que a tabela foi gerada tomando valores de x (em ordem decrescente de x) de tabelas recíprocas padrão babilônicas, especificamente os valores: 2:24, 2:22:13:20, 2:20:37:30, 2:18:53:20, 2:15, 2:13:20, 2:09:36, 2:08, 2:05, 2:01:30, 2, 1:55:12, 1:52:30, 1:51:06:40, e 1:48, e depois usando o relacionamento: (x − 1 / x)² + 22 = (x + 1 / x)² para gerar triplos pitagóricos. Se nós deixarmos: y = (x − 1 / x) / 2 e z = (x + 1 / x) / 2, então B e C são múltiplos de y e z, e A = z² / (z² − y²).
Recentemente, Daniel F. Mansfield e N. J. Wildberger [“Plimpton 322 é trigonometria sexagesimal exata babilônica”, Historia da Matemática, on-line 24 de agosto de 2017] interpretam a tabela como proto-trigonometria. Eu acho a explicação deles da primeira coluna (“uma relação quadrada relacionada que pode ser usada como um índice”) não convincente, no entanto. Por que um índice tão complexo? Robson chama essas interpretações trigonométricas de “conceitualmente anacrônicas” e aponta que não há outra evidência de que os babilônios estejam fazendo trigonometria.
Mansfield e Wildberger também sugerem que “os números no P322 são grandes demais para permitir que os estudantes obtenham razoavelmente as raízes quadradas das quantidades necessárias”. No entanto, eu não acho que isso seja verdade. Os babilônios adoravam calcular. Usando o algoritmo de raiz quadrada padrão, até mesmo estimativas iniciais simplistas para as raízes quadradas dos números na coluna A fornecem convergência em 2 ou 3 etapas a cada vez. Por exemplo, para obter a raiz quadrada de 1.59: 00: 15 (1.983402777777778), começo com 1.30: 00: 00 (1.5) como uma suposição. Isso dá 1.24: 40: 05 como a próxima iteração, depois 1.24: 30: 01 e depois 1.24: 30: 00 (1.408333333333333), que é a resposta exata. Dito isso, no entanto, o cálculo dessas raízes quadradas não era realmente necessário para os problemas de classe previstos por Robson.
Infelizmente, não acho que Mansfield e Wildberger tenham defendido. Acredito que Robson ainda está correto no significado desse tablete.
Plimpton 322 é trigonometria sexagesimal exata da Babilônia. Fonte: sciencedirect.com
Matemática Babilônica
Matemática Babilônica (também conhecido como Matemática Assírio-Babilônica) se refere a qualquer forma de matemática desenvolvida pelos povos da Mesopotâmia, desde os dias dos antigos Sumérios até a queda da Babilônia em 539 aec.
