Teoria da informação e entropia – como passamos do conhecimento para a informação?

O que é entropia nos termos da física?

Dente de leão simbolizando a entropia. Créditos: www.pngwing.com.

Entropia (do grego εντροπία, entropia), unidade [J/K] (joules por kelvin), é uma grandeza termodinâmica que mede o grau de liberdade molecular de um sistema, está associado ao seu número de configurações (ou microestados), ou seja, de quantas maneiras as partículas (átomos, íons ou moléculas) são distribuídos em níveis energéticos quantizados, incluindo translacionais, vibracionais, rotacionais e eletrônicos. Entropia também é geralmente associada à aleatoriedade, dispersão de matéria e energia, e “desordem” (não em senso comum) de um sistema termodinâmico. A entropia é a entidade física que rege a segunda lei da termodinâmica, à qual estabelece que a ela deve aumentar para processos espontâneos e em sistemas isolados. Para sistemas abertos, deve-se estabelecer que a entropia do universo (sistema e suas vizinhanças) deve aumentar devido ao processo espontâneo até o meio formado por sistema + vizinhanças atingir um valor máximo no estado de equilíbrio. Neste ponto, é importante ressaltar que vizinhanças se entende como a parte do resto do universo capaz de interagir com o sistema, através de, por exemplo: trocas de calor.

Função da entropia binária, ensaio de Bernoulli, princípio da entropia máxima. Créditos: http://www.pngwing.com.

A distribuição de Bernoulli, nome em homenagem ao cientista suíço Jakob Bernoulli, é a distribuição discreta do espaço amostral {0, 1}, que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso p e valor 0 com a probabilidade de falha q = 1 − p.

Resumo:

  • P(1) = p
  • P(2) = q
  • p + q = 1
  • q = 1 − p

Se X é uma variável aleatória com essa distribuição, teremos:

P(X=1)=1-P(X=0)=1-q=p

Um exemplo clássico de uma experiência de Bernoulli é uma jogada única de uma moeda. A moeda pode dar “coroa” com probabilidade p ou “cara” com probabilidade 1 − p. A experiência é dita justa se p = 0.5, indicando a origem dessa terminologia em jogos de apostas (a aposta é justa se ambos os possíveis resultados têm a mesma probabilidade).

Gelo derretendo. (C) WiKi.

Uma definição formal de entropia em termos de possibilidade é: entropia é uma medida aditiva do número de possibilidades disponíveis para um sistema. Assim, a entropia de um sistema físico é uma medida aditiva do número de microestados possíveis que podem ser realizados pelo sistema. E a entropia de uma fonte de mensagem é uma medida aditiva do número de mensagens possíveis que podem ser escolhidas dessa fonte de mensagens.

Obs.: com a morte de um organismo vivo, a entropia do organismo aumenta. À medida que o interior morre, seus restos são espalhados pelo vento. No entanto, mesmo nesta morte, novas possibilidades são distribuídas.

Entropia na teoria da informação

A falta de informação é uma medida da informação necessária para escolher um microestado específico de um conjunto de microestados possíveis ou uma mensagem de uma fonte de mensagens possíveis. Ao passo que a incerteza pode ser entendida como a falta de informação sobre uma questão de interesse para um determinado agente (por exemplo, um tomador de decisão humano ou uma máquina), uma condição de conhecimento limitado em que é impossível descrever exatamente o estado do mundo ou sua evolução futura. Portanto, podemos representar essa origem como:

μ(∅) = 0

O significado dessa fórmula é: a entropia do vazio ∅ (origem do conhecimento) é zero 0.

A teoria da informação lógica cumpre precisamente a máxima de Kolmogorov. Ele começa simplesmente com um conjunto de distinções definidas por uma partição (divisão) em um conjunto finito U, onde uma distinção é um par ordenado de elementos de U em blocos distintos da partição – podemos representar isso como Probabilidade/Subespaços. Assim, o objeto “combinatório finito” é o conjunto de distinções (“distset”) ou conjunto de informações (“infoset”) associado à partição – Informação/Partição; ou seja, o complemento em U × U da relação de equivalência associada à partição. Para obter uma medida quantitativa de informação, qualquer distribuição de probabilidade em U define uma medida de probabilidade do produto de U × U, e a entropia lógica é simplesmente essa medida de probabilidade no conjunto de informações. Esta descrição motivacional da teoria da informação lógica será agora desenvolvida em detalhes.

O conceito de incerteza desempenha um papel semelhante. Quanto maior e mais variado o conjunto a partir do qual um sistema pode ser escolhido e quanto maior e mais variada a fonte da mensagem da qual uma mensagem pode ser extraída, mais incerto será o resultado e mais alta será a entropia. A entropia lógica é a medida (no sentido técnico não negativo da teoria da medida) de informações que surgem da lógica de partição assim como a teoria da probabilidade lógica surge da lógica de subconjuntos (subespaços).

Entropia de Shannon

Representação da origem do conhecimento μ(∅) = 0 com o particionamento binário proposto por Shannon. Créditos imagem: CC {rcristo.com.br}

Consequentemente, a entropia de Shannon é interpretada como o número médio do limite de bits necessários por mensagem. Em termos de distinções, este é o número médio de partições binárias necessárias para distinguir as mensagens.

Podemos representar a entropia de Shannon pela fórmula:

H(p)=\sum_{k=1}^{m} p_{k} \log _{2}\left(\frac{1}{p_{k}}\right)

Considere uma árvore binária de três níveis, onde cada ramo se divide em dois ramos equiprováveis em cada nível, como em 2^{3}=8, folhas são as mensagens, cada uma com probabilidade \frac{1}{8}. Uma entropia multiplicativa de Shannon é o número de mensagens equiprováveis 2^{3}=8, e a entropia de Shannon é o número de decisões binárias ou bits \log \left(2^{3}\right)=3 necessários para determinar cada mensagem que, neste exemplo canônico, é o comprimento do código binário de cada mensagem.

Máquina de Galton

Tabuleiro de Galton em movimento. Créditos Wikipédia.

Se pensarmos na árvore como uma máquina de Galton com bolinhas de gude caindo da raiz e tomando um dos galhos com igual probabilidade, então a probabilidade de alcançar qualquer folha em particular é, obviamente, \frac{1}{8}. A entropia lógica é a probabilidade de que em duas tentativas diferentes a bola de gude alcance folhas diferentes.

h (p) = 1 − 8 × \left(\frac{1}{8}\right)^{2}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}

Entropia como possibilidade é uma palavra adequada e, ao contrário da incerteza e da falta de informação, tem conotação positiva. Assim, de acordo com a segunda lei da termodinâmica, um sistema termodinâmico isolado sempre evolui no sentido de abrir novas possibilidades. E quanto maior o conjunto de possibilidades a partir do qual um microestado ou uma mensagem podem ser realizados ou escolhidos, maior será a entropia do sistema físico ou a entropia de Shannon da fonte da mensagem.

Convenções sobre operações indexadas no conjunto vazio

  • Somas vazias = 0
  • Produtos vazios = 1
  • Uniões vazias = ∅
  • Interseções vazias = o conjunto universo
  • Permutações vazias = 1

O conjunto vazio { } = ∅ determina a origem dos microestados ou da informação que será medida.

{RC}.

A medida direta é a entropia lógica que é a medida quantitativa das distinções feitas por uma partição. A entropia de Shannon é uma transformação ou reunificação da entropia lógica para a teoria matemática das comunicações. O matemático Andrei Kolmogorov sugeriu que as informações devem ser definidas independentemente da probabilidade, de modo que a entropia lógica é definida pela primeira vez em termos do conjunto de distinções de uma partição e, em seguida, uma medida de probabilidade no conjunto define a versão quantitativa da entropia lógica.

A entropia de Shannon é frequentemente apresentada como sendo a mesma que a entropia de Boltzmann.

Conectividade espacial e subespacial

Trabalhamos com um espaço métrico que entendemos como um plano complexo, a menos que especificado de outra forma. A letra Ω denotará um conjunto aberto no espaço métrico, consequentemente, uma região é simplesmente conectada se e somente se seu complemento no plano complexo estendido estiver conectado. Assim, uma região é simplesmente conectada se e somente se não tiver orifícios. Este é um critério muito transparente para determinar se uma região está simplesmente conectada ou não.

Para qualquer conjunto finito U, uma medida μ (lê-se: mi é a décima segunda letra do alfabeto grego) é uma função μ: ℘ (U) → R tal que:

μ(∅) = 0,

para qualquer E ⊆ U, μ (E) ≥ 0, e

para quaisquer subconjuntos disjuntos E1 e E2, μ (E1 ∪ E2) = μ (E1) μ (E2).

Seja X um espaço métrico e E ⊆ X, começamos com uma definição de conectividade

Definição: um conjunto E é conectado se E não puder ser escrito como uma união disjunta de dois subconjuntos abertos relativos não vazios de E. Assim, E = A ∪ B com A ∩ B = ∅ e A, B aberto em E implica que A = ∅ ou B = ∅. Caso contrário, E = A ∪ B é chamado de separação E em conjuntos abertos. Por exemplo, a união E de dois discos abertos separados A e B não está conectada, pois:

E = A ∪ B = (A ∪ B) ∩ E = (A ∩ E) ∪ (B ∩ E)

onde A ∩ E e B ∩ E não estão vazios, disjuntos e relativamente abertos em E. Como em C, um conjunto conectado aberto em um espaço métrico é chamado de região.

Definição: um subconjunto máximo conectado de E é chamado de componente de E. Para a ∈ E, seja C(a) a união de todos os subconjuntos conectados de E contendo a. Observamos que a ∈ C (a) uma vez que {a} está conectado e:

E=\bigcup_{a \in E} C(a)

Fornecemos algumas propriedades de C(a).

(i) C(a) está conectado.

A prova é por contradição. Seja C(a) = A ∪ B uma separação de C(a) em conjuntos abertos. Podemos assumir que a ∈ A e b ∈ B. Então, como b ∈ C(a) e C(a) é a união de todos os subconjuntos conectados de E contendo a, existe E0 ⊆ E tal que E0 ⊆ C(a) está conectado e a ∈ E0, b ∈ E0. Por isso:

E0 = E0 ∩ C (a) = E0 ∩ (A ∪ B) = (E0 ∩ A) ∪ (E0 ∩ B)

implica que ou E0 ∩ A = ∅ ou E0 ∩ B = ∅. Isso é uma contradição, pois a ∈ E0 ∩ A e b ∈ E0 ∩ B.

Assim, cada componente de E tem a forma C(a) com um ∈ E.

Os componentes de E são disjuntos ou idênticos.

Seja a, b ∈ E. Suponha que C(a) ∩ C(b) = ∅. Então provamos que C(a) = C(b). Seja x ∈ C(a) ∩ C(b). Então x ∈ C(a). Como C(a) está conectado, deduzimos que C(a) ⊆ C(x). Então a ∈ C(x) que implica C(x) ⊆ C(a) já que C(x) está conectado. Assim, C(a) = C(x). Da mesma forma C(b) = C(x) e, portanto, C(a) = C(b).

Os componentes de um conjunto aberto são abertos

Seja E um conjunto aberto. Basta mostrar que C(a) com a ∈ E está aberto. Seja x ∈ C(a).

(ii) Então C(x) = C(a).

Como x ∈ E e E é aberto, existe r > 0 tal que D(x, r) ⊆ E. De fato, D(x, r) ⊆ C (x) já que D(x, r) está conectado contendo x. Assim, x ∈ D(x, r) ⊆ C(a) e, portanto, C(a) é aberto.

Ao combinar (i), (ii) concluímos: um conjunto aberto em um espaço métrico é uma união disjunta de regiões.

Para os pontos P0, P1, …, Ps no plano complexo, escrevemos [P0, P1, …, Ps] para o caminho poligonal obtido unindo P0 a P1, P1 a P2, …, Ps− 1 a Ps por segmentos de linha. Agora fornecemos um critério fácil de aplicar para mostrar que os conjuntos no plano estão conectados.

Seja E um subconjunto aberto não vazio de C. Então E é conectado se e somente se quaisquer dois pontos em E podem ser unidos por um caminho poligonal que está em E.

Prova: Suponha que E está conectado. Como E = ∅, seja a ∈ E. Seja E1 o subconjunto de todos os elementos de E que podem ser unidos a a por um caminho poligonal. Seja E2 o complemento de E1 em E. Então:

E = E1 ∪ E2 com E1 ∩ E2 = ∅, a ∈ E1.

É suficiente mostrar que E1 e E2 são subconjuntos abertos de E. Então E2 = ∅ visto que E está conectado e a ∈ E1. Assim, cada ponto de E pode ser unido a a por um caminho poligonal que fica em E. Portanto, quaisquer dois pontos de E podem ser unidos por um caminho poligonal que fica em E via a.

Primeiro, mostramos que E1 está aberto. Seja a1 ∈ E1. Então a1 ∈ E e como E está aberto, encontramos r1 > 0 tal que D(a1, r1) ⊆ E. Qualquer ponto de D(a1, r1) pode ser unido a a1 e, portanto, a a por um caminho poligonal que fica em E desde a1 ∈ E1. Assim, a1 ∈ D(a1, r1) ⊆ E1. A seguir, mostramos que o E2 está aberto. Seja a2 ∈ E2. Novamente encontramos r2 > 0 de modo que D(a2, r2) ⊆ E visto que E está aberto. Agora, como acima, vemos que nenhum ponto deste disco pode ser unido a a como a2 ∈ E2 e, portanto, a2 ∈ D(a2, r2) ⊆ E2. Agora assumimos que se quaisquer dois pontos de E podem ser unidos por um caminho poligonal em E, mostramos que E está conectado. Deixe:

E = E1 ∪ E2

Seja uma separação de E em conjuntos abertos. Não há perda de generalidade em assumir que existem pontos a1 ∈ E1 e a2 ∈ E2 tais que:

χ (t) = ta1 (1 – t) a2 com 0 <t <1

é um segmento aberto de a2 a a1 situado em E. Deixe:

V = {t ∈ (0, 1)|χ(t) ∈ E1} e W = {t ∈ (0, 1)|χ(t) ∈ E2}.

Vimos que V e W estão abertos em (0, 1). Além disso, temos a separação do intervalo aberto (0, 1) em conjuntos abertos (0, 1) = V ∪ W, V ∩ W = ∅

Como a1 ∈ E1 e E1 está aberto, existe r3 > 0 com D(a1, r3) ⊆ E1. Isso implica V = ∅. Da mesma forma W = ∅. Portanto, o intervalo (0, 1) não está conectado. Isso é uma contradição.

Partições Young

Para uma partição λ, o diagrama de Young da forma λ é um diagrama justificado à esquerda |λ| em caixas, com λi caixas pretas na i-ésima coluna, denotamos o conjunto de todos os diagramas Young contidos em um k × (m − k) caixa por Tk,m−k \mathcal{T}_{m}=\cup_{k=0}^{m}

Por exemplo, os diagramas de Young no conjunto T2,2 são dados por:

O conjunto T3 é dado por:

Observe que cada diagrama de Young em Tm pode ser obtido de um diagrama de Young em Tm−1 adicionando uma coluna vazia à sua direita ou uma linha preenchida antes de sua primeira linha. Por exemplo, as partições obtidas da partição λ = ∅ ∈ T1,2 são dadas por 1 ∈ T2,2 e ∅ ∈ T1,3. Assim, o número de diagramas de Young no conjunto Tm é dado por 2m. A seguir, identificamos uma partição e seu diagrama Young associado.

Para qualquer partição λ = λ1 ··· λk, definimos λ∗ como a partição λ∗ = (λ1 + 1)(λ2 + 1)··· (λk + 1) e λ∗ como a partição λ∗ = λ1 ·· · λk0.

Em outras palavras, λ ∗ é o diagrama de Young que é obtido de λ adicionando uma linha preenchida antes da primeira linha de λ, e λ ∗ é o diagrama de Young que é obtido de λ adicionando uma coluna vazia no lado direito de λ.

O que são dados?

O significado de dados é: um conjunto de informações que depende da forma (espacial ou subespacial) e tipo (estruturados ou não estruturados). Ex: uma letra, uma palavra, símbolos matemáticos, uma página de texto, um livro em formato pdf, um livro em papel, uma planilha, um formulário em papel ou online, etc. Os dados podem ser classificados no tipo: estruturados e não estruturados.

Obs.: um livro em papel é um dado espacial, um livro em PDF ou EPUB é um dado subespacial.

O principal objetivo das minhas pesquisas é esclarecer você leitor para que se proteja dos absurdos conceituais que os influenciadores da própria internet estão disseminando o tempo todo; 100% de tudo o que você leu, ouviu, assistiu, etc., precisa de provas contundentes (referências lógicas válidas), para alcançar CVJV, caso contrária não terá validade.

Claude Shannon

Em 1948, publicou o importante artigo científico intitulado A Mathematical Theory of Communication July, October, 1948 – C. E. SHANNON enfocando o problema de qual é a melhor forma para codificar a informação que um emissor queira transmitir para um receptor.

Clique na foto de Shannon (Courtesy of MIT Museum) e baixe em PDF seu mais importante trabalho.

A matemática é a linguagem com a qual escrevemos as partituras que representam a realidade percebida (universo), cujo pano de fundo é a entropia, a origem do conhecimento é o vazio { } e a informação é a possibilidade da representação que pode ser compactada em espaços e subespaços.

{RC}.

Referências Bibliográficas

Conceitos básicos em matemática (noção de primitivas)

Na foto da Big Lousa (grande quadro em sala de aula), podemos perceber a matemática expressada em toda a sua magnitude. Créditos foto (internet).

O que é Matemática?

É a ciência do raciocínio lógico e abstrato, que estuda quantidades, medidas, espaços, estruturas, variações e estatísticas. Também é a ciência mais importante em razão de ser a fundamentação do conhecimento. Toda base tecnológica é fundamentada em matemática, caso sua aprendizagem seja deficitária ficaria muito difícil avançar na aquisição de conhecimento, compreendendo todas as áreas estudadas.

Conceitos básicos

A matemática não existe na natureza – nosso universo não é matemático -, é uma tremenda invenção do pensamento, um produto da cultura que foi amplamente inspirado pela natureza, especialmente durante a gestação da matemática na Suméria. Em contraste com a realidade e em contraste com os fenômenos naturais, a matemática é puramente conceitual. Certos objetos da natureza e certos fenômenos naturais, como o horizonte, favos de mel hexagonais, ritmos naturais, objetos em número ou ondas na superfície da água, podem sugerir que a matemática existe na natureza. De fato, esses objetos e esses fenômenos, chamados de naturais, são irregulares, imperfeitos e não devem ser confundidos com objetos matemáticos perfeitos e que obedecem às leis estritas: a matemática simplifica construindo conjuntos de objetos matemáticos, os quais têm as mesmas propriedades. (1)

Realidade e natureza

Por exemplo, a matemática defende que todos os indivíduos, que fazem parte de uma população de bactérias, são semelhantes; enquanto cada bactéria está em sua condição adequada, a qual difere da seguinte (condição fisiológica, interação com seu ambiente próximo, possível interdependência); mas sem essas simplificações da realidade, o estudo de bactérias seria impossível e o Universo seria ininteligível para nós. (1)

Este é um restabelecimento do antigo princípio latino Pars Pro Toto (verdadeiro para a parte significa verdadeiro para o todo). No entanto, o princípio do PPT é verdadeiro em matemática: em um conjunto matemático, todos os elementos são isomórficos (idênticos) e isonômicos (obedecem às mesmas leis), a menos que o conjunto seja particionado de alguma maneira. (1)

Por não existir na natureza, a matemática tem uma integridade interessante: ao contrário da política, economia, arte e filosofia, não há matemática de esquerda ou de direita; não há matemática aliada ao marxismo, nem fiel a nenhuma religião em particular; e também não favorece nenhuma cultura, espécies ou espécie em particular. Por sua própria essência, a matemática proíbe pontos de vista ideológicos, atitudes intelectuais, preconceitos ou convicções predeterminadas. Em sua aparente frieza, a matemática é vertical, mas não neutra, porque fica na linha de frente na luta contra o analfabetismo (sem conhecimento mínimo) e o obscurantismo (crença em inexistentes), na medida em que é uma maneira verdadeiramente excepcional de entender e inventar coisas. (1)

A origem da matemática

Algumas formas matemáticas muito básicas emergem no início do neolítico, AEC 7000 anos atrás; suas origens, em várias culturas, são diversas, poligênicas. No Curdistão iraquiano, estratos arqueológicos desse período retornaram pequenas cerâmicas esféricas, cilíndricas ou cônicas, chamadas de cálculos, destinadas a manter contas. Os cálculos parecem ser os arquivos contábeis mais antigos. Assim, eles deram origem a um sistema com um futuro promissor: administração. Deveria ser visto como um passo em direção à abstração, porque os cálculos já eram representações quantificadas e codificadas. No início da era neolítica, com esse modelo aritmético pequeno e elementar representado pelos cálculos, nossos ancestrais inventaram um dos primeiros modelos matemáticos. Seixos pintados, encontrados em Mas-d’Azil em Ariège (França, 9000 AEC), são interpretados como auxiliares de memória e provável precursor de cálculos. (1)

Artefatos matemáticos

A ideia aqui é combinar matemática e natureza, a fim de avaliar algum aspecto deste último, usando conceitos e modelos matemáticos. Nota importante: os artefatos matemáticos representam a realidade, mas não são a realidade: essa é precisamente a diferença entre realidade e artefatos matemáticos. (1)

Elementos primitivos

Em matemática, lógica, e sistemas formais, uma noção primitiva é um conceito indefinido. Em particular, a noção primitiva não é definida em termos de conceitos previamente definidos, é apenas motivada informalmente, geralmente por um apelo à intuição e a experiência cotidiana. Em um sistema axiomático ou outro sistema formal, o papel de uma noção primitiva é análoga ao de um axioma; portanto, é muito importante! Teorias formais não podem prescindir (vir sem ou ignorar) noções primitivas, sob pena de regresso ao infinito (circularidade).

Um ponto é aquilo que não tem partes.

Euclides: Os Elementos, Livro I.

Neste livro, o conceito de “ponto” não é primitivo, pois é definido por meio do conceito de “parte” que é primitivo, não recebe definição.
Um conceito pode ser primitivo em um contexto mas não em outro. Como exemplo, em psicologia, as cores geralmente são conceitos primitivos, pois o significado das cores provém unicamente do sentido da visão (e portanto a única maneira de ensinar o que significa precisamente a palavra azul, é mostrando algo dessa cor), mas no contexto da física, elas têm definições em termos de comprimentos de ondas eletromagnéticas.

Clique na foto ao lado para baixar o Livro em PDF. Créditos Unesp: archive.org

Conceitos primitivos formam a base representativa da matemática, são eles:

Espaço e subespaço

Espaços são possibilidades existenciais seja no sentido: físico, matemático, conceitual ou filosófico, representativo, etc. Todo espaço contém subespaços em seu interior. Nada pode existir fora de um espaço e a nossa capacidade de conhecer depende de um espaço que começa vazio. Em física o espaço não vem sozinho, é mesclado com o tempo para formar o espaço-tempo. {RC}.

Foi nossa capacidade cognitiva que ao inventar a ciência matemática nos proporcionou essa maravilhosa concepção. (consulte BEM-FUNDADO).

{RC}.

Obs: as leis/regras/lógicas/abstrações da matemática foram inventadas por nós no decorrer de milênios da evolução de nosso raciocínio, enquanto as leis da física foram descobertas. Um exemplo é o número Zero = 0, inventado há mais ou menos 2600 anos.

Espaços também podem ser:

Representação

Na teoria dos conjuntos representamos os espaços da seguinte forma:

{ espaço aberto

} espaço fechado

{ } espaço vazio ou ∅

{ { } } um espaço com subespaço interior

{∅} espaço vazio topológico

Ponto

Em Matemática, particularmente na Geometria e na Topologia, um ponto {.} é uma noção primitiva pela qual outros conceitos são definidos. Um ponto determina uma posição no espaço. Na Geometria, pontos não possuem volume, área, comprimento ou qualquer dimensão semelhante. Assim, um ponto é um objeto de dimensão 0 (zero). Um ponto também pode ser definido como uma esfera de diâmetro zero.

Geometria euclidiana

Nos Elementos de Euclides, um ponto é definido como “o que não tem partes”. Isto significa: o que caracteriza um ponto é a sua posição no espaço. Com o aparecimento da geometria analítica, passou a ser possível referir-se a essa posição através de coordenadas.

Geometria projetiva

Na geometria projetiva, um ponto é um elemento de um espaço projetivo, ou seja, é uma reta.

Topologia

Em topologia, um espaço topológico é um conjunto de pontos, aos quais está associada uma noção de proximidade. No entanto, existe uma abordagem recente da topologia, chamada a topologia sem pontos, que estuda os espaços topológicos sem se referir aos pontos que os constituem. Esta abordagem enquadra-se na teoria das categorias.

Reta

A linha reta é aquela que se estende igualmente entre seus pontos, podemos afirmar que é uma medida (distância) entre pontos.

As retas vermelha e azul neste gráfico têm o mesmo declive; as retas vermelha e verde têm a mesma interceptação em y (cruza o eixo y no mesmo local).

Curva

Uma espiral, um exemplo simples de curva.

Tecnicamente, uma curva é o lugar geométrico ou trajetória seguida  por um ponto que se move de acordo com uma ou mais leis especificadas, neste caso, as leis comporão uma condição necessária e suficiente para a  existência do objeto definido. Frequentemente há maior interesse nas  curvas em um espaço euclidiano de duas dimensões (curvas planas) ou três dimensões (curvas espaciais). Em tópicos diferentes dentro da matemática o termo possui  significados distintos dependendo da área de estudo, então o sentido  exato depende do contexto. Um exemplo simples de uma curva é a espiral,  mostrada acima à esquerda. Um grande número de outras curvas já foi bem estudado em diversos campos da matemática.

Plano (geometria)

Um plano é um ente primitivo geométrico infinito à duas dimensões. Nos Elementos de Euclides, não possui definição enquanto conceito genérico. Mas um plano qualquer é definido, ou determinado, de várias formas equivalentes. Na foto ao lado vemos três planos paralelos.

Acima da esquerda para a direita: o quadrado, o cubo e o tesserato. O quadrado bidimensional (2d) é delimitado por linhas unidimensionais (1d); o cubo tridimensional (3d) por áreas bidimensionais; e o tesserato quadridimensional (4d) por volumes tridimensionais. Para exibição em uma superfície bidimensional, como uma tela, o cubo 3D e o tesserato 4d exigem projeção.

Dimensão

Na física e na matemática, a dimensão de um espaço matemático (ou objeto) é informalmente definida como o número mínimo de coordenadas necessárias para especificar qualquer ponto dentro dela. Assim, uma reta  tem uma dimensão de um (1) porque apenas uma coordenada é necessária  para especificar um ponto nela – por exemplo, o ponto no 5 em uma reta  numérica. Uma superfície como um plano ou a superfície de um cilindro ou esfera tem uma dimensão de dois porque duas coordenadas são necessárias para especificar um ponto nela – por exemplo, uma latitude e uma longitude são necessárias para localizar um ponto na superfície de uma esfera. O interior de um cubo, um cilindro ou uma esfera é tridimensional porque são necessárias três coordenadas para localizar um ponto dentro desses espaços.

As primeiras quatro dimensões espaciais, representadas em uma figura bidimensional.
  1. Dois pontos podem ser conectados para criar um segmento de reta.
  2. Dois segmentos de linha paralela podem ser conectados para formar um quadrado.
  3. Dois quadrados paralelos podem ser conectados para formar um cubo.
  4. Dois cubos paralelos podem ser conectados para formar um tesserato.

Na mecânica clássica, espaço e tempo  são categorias diferentes e referem-se a espaço e tempo absolutos (conceitos superados pela física da relatividade e pela mecânica quântica). Essa concepção de mundo é um espaço de quatro dimensões, mas não o que foi  considerado necessário para descrever o eletromagnetismo. As quatro dimensões do espaço-tempo consistem em eventos que não são absolutamente definidos espacial e temporalmente, mas são conhecidos em relação ao movimento de um observador. O espaço de Minkowski primeiro se aproxima do universo sem gravidade; as variedades pseudo-riemannianas da relatividade geral descrevem o espaço-tempo com a matéria e a gravidade. Dez dimensões são usadas para descrever a teoria das cordas, onze dimensões podem descrever a supergravidade e a teoria-M, e o espaço de estados da mecânica quântica é um espaço de função de dimensão infinita. O conceito de dimensão não se restringe a objetos físicos. Espaços de alta dimensão frequentemente ocorrem na matemática e nas ciências. Eles podem ser espaços de parâmetros ou espaços de configuração, como na mecânica lagrangiana ou hamiltoniana; estes são espaços abstratos, independentes do espaço físico em que vivemos.

Um sistema de coordenadas cartesianas de três dimensões.

Obs: É importante observar que a dimensão está vinculada à forma como o espaço se apresenta.

Tesserato e Hipercubo

Um tesserato (ou tesseracto), octácoro regular ou hipercubo de quatro dimensões é um polícoro (polítopo de quatro dimensões) regular, é o polícoro dual do Hexadecácoro e é análogo ao cubo (que é um poliedro, um polítopo de três dimensões) e ao quadrado (que é um polígono, um polítopo de duas dimensões). Um octácoro apresenta vértices (pontos), arestas (linhas), faces (planos) e células (sólidos).

Para representarmos geometricamente um hipercubo de quarta dimensão, devemos fazer uso da analogia: para formarmos um quadrado, unimos dois segmentos de reta paralelos e de mesmo comprimento através de seus extremos por outros dois outros segmentos de reta. Para representarmos um cubo, unimos os vértices de dois quadrados por quatro segmentos de reta. Para representarmos um hipercubo, unimos todos os vértices de dois cubos por segmentos de reta, conforme sugere a imagem ao lado.

O Tesserato é um cubo projetado em 4 dimensões.

O tesserato é um análogo ao quadrado e ao cubo, mas com quatro dimensões. Para entendermos a quarta dimensão, é necessário relembrarmos rapidamente alguns conceitos de geometria. O primeiro conceito é o ponto. Um ponto é a representação geométrica de posição no espaço, e não possui dimensões (nem altura, nem comprimento, nem profundidade); ou seja, é impossível “medir” um ponto. Um ponto que se move em uma direção gera um segmento de reta. Uma linha que se desloca produz ou uma linha mais longa, ou uma área, se ela se move em direção perpendicular à sua direção anterior, ela gera um retângulo; e, se a distância for a mesma que, a que o ponto se deslocou, um quadrado. Um quadrado, movendo-se nesta mesma distância em uma direção perpendicular, gera um cubo. Para mover o cubo, não podemos visualizar em que direção ele se moveria, assim como uma terceira dimensão seria invisível a habitantes presos à superfície de uma mesa, mas supondo-se que existisse uma direção perpendicular às três dimensões, e que o cubo se deslocasse nesta dimensão da mesma distância padrão, a figura gerada seria um tessarato.

Bijeção e função bijetiva

Uma função bijetiva, função bijetora, correspondência biunívoca ou bijeção, é uma função injetiva e sobrejetiva (injetora e sobrejetora).

Uma função bijetiva injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo).

Função injetiva, mas não sobrejetiva (portanto não é bijetiva).

Função sobrejetiva, mas não injetiva (portanto não é bijetiva).

Função nem injetiva nem sobrejetiva (portanto não é bijetiva).

Cardinalidade

Na matemática, a cardinalidade de um conjunto é uma medida do “número de elementos do conjunto”. Por exemplo, o conjunto A={2,4,6,8,10} contém 5 elementos e por isso possui cardinalidade 5. Existem duas abordagens para cardinalidade – uma que compara conjuntos diretamente, usando funções bijetoras e funções injetoras, e outra que usa números cardinais.

Obs: A cardinalidade de um conjunto A é usualmente denotada |A|, com uma barra vertical de cada lado; trata-se da mesma notação usada para valor absoluto, por isso o significado depende do contexto.

Comparação de conjuntos

Caso 1: |A|=|B|

Dois conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade se existe uma bijeção, ou seja, uma função que seja simultaneamente injetora e sobrejetora, entre eles. Por exemplo, o conjunto E={0, 2, 4, 6, …} dos números pares não-negativos tem a mesma cardinalidade do conjunto N={0, 1, 2, 3, …} dos números naturais, uma vez que a função f(n)=2n é uma bijeção de N para E.

Caso 2: |A|≥|B|

|A|tem cardinalidade maior ou igual que a cardinalidade de B se existe uma função injetora de A para B.

Caso 3: |A|>|B|

|A| tem cardinalidade estritamente maior do que a cardinalidade de B se existe uma função injetora de A para B, mas não existe nenhuma função bijetora de B para A.

Obs: Em teoria dos conjuntos, dois conjuntos são equipotentes se possuem a mesma cardinalidade; ou seja, se há uma bijeção entre os conjuntos.

Dedekind-infinito

Na matemática, especialmente na teoria de conjuntos, um conjunto A é Dedekind-infinito ou infinito de Dedekind se A é equipotente a um subconjunto próprio. Um conjunto é Dedekind-finito se ele não é Dedekind-infinito. O nome provém do matemático alemão Richard Dedekind, que definiu “infinito” dessa maneira no seu famoso artigo de 1888, o que são e o que precisam ser os números.

Infinito

Infinito (do latim infinítu, símbolo: ∞) é a qualidade daquilo que não tem fim. O símbolo de infinito ∞ é por vezes chamado de lemniscata, do latim lemniscus. John Wallis é creditado pela introdução do símbolo em 1655 no seu De sectionibus conicis. Uma conjectura sobre o porquê ter escolhido este símbolo é ele derivar de um numeral romano para 1000 que, por sua vez foi derivado do numeral etrusco para 1000, que se assemelhava a CIƆ e era por vezes usado para significar “muitos”. Outra conjectura é que ele deriva da letra grega ω – Omega – a última letra do alfabeto grego. Também, antes de máquinas de composição serem inventadas, ∞ era facilmente impresso em tipografia usando o algarismo 8 deitado sobre o seu lado.

Referências Bibliográficas

Pare de acreditar em inexistentes – Coronavírus é a prova de que o nosso sistema de crenças (sem ciência) acabou!

A ciência é nossa única alternativa para continuarmos sobrevivendo em nosso próprio planeta.

Assista ao desabafo do professor de biologia Samuel Cunha, morador de Curitiba – Pr, sobre a importância do investimento em educação e principalmente na ciência. O professor Cunha tem um canal no YouTube, siga o canal e aprenda muito com suas vídeo aulas de Biologia e Virologia.

O Coronavírus é a prova de que nenhum sistema de crenças poderá parar a disseminação do vírus, nem trazer curas; ao contrário, colocará em perigo a população não importa em qual país você more.

A ciência tem a última palavra em tudo o que podemos imaginar, medir, usar, estudar, descobrir, criar, evoluir, e até mesmo: pensar, etc. A filosofia é importante para podermos fazer as perguntas, mas é a ciência que têm as provas e respostas; a religião e crenças no geral, induzem ao autoengano das pessoas menos esclarecidas e colocam a sobrevivência do ser humano em xeque!

Abandone seu sistema de crenças (com relação principalmente às religiões, seitas, crendices populares, superstições, etc.), pare de acreditar em inexistentes que nada podem fazer por você, pela sua vida e principalmente pelo futuro da humanidade.

Na falta da ciência, a extinção do ser humano é inevitável. {RC}.

Créditos vídeo: Professor Samuel Cunha.

Cartilha de Finanças Pessoais: Baixe o Livro

Clique na foto para download direito em Pdf.

Esta Cartilha de Finanças Pessoais ensina os princípios básicos de leitura nessa área de conhecimento, é uma compilação elementar de Educação Financeira. Seu objetivo é servir como um guia didático no planejamento da vida financeira de seus leitores.

Blog Cidadania & Cultura

Com a edição revista e ampliada desta Cartilha de Finanças Pessoais – 2019 completei dezoito livros organizados no período desfrutado de Licenças-Prêmio e férias acumuladas. Você os encontrará para download gratuito na aba acima denominada Obras (Quase) Completas.

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Calcule corretamente a velocidade de sua internet em Mbits/s para MB/s

Os pacotes de internet oferecidos pelas operadoras no geral utilizam a métrica: Mega bits por segundo (Mbps), significa que em 1 segundo, o valor correspondente a 1 megabit (1.000.000 bits) é transmitido na velocidade da luz do ponto de origem ao ponto de destino.

Utilize a seguinte métrica para saber o valor correto dessa velocidade em Mega Bytes (MB)

  • 1 Byte é igual a 8 bits
  • 1 Mbits/s equivale a 1000 bits x 1000 bits = 1.000.000 bits/s
  • 1000.000 bits dividido por 8 (bits) = 125.000 bytes
  • 125.000 divido por 1.000.000 = 0,125 MB (Mega Bytes), saiba mais sobre bytes aqui!
  • 1 Mbits/s = 0,125 MB/s lê-se: “zero, vírgula, cento e vinte e cinto mega bytes por segundo”.

Obs: 1 bit equivale a 2 estados 0 e 1 (binário), 1 byte = 8 bits = Log2 8 (logaritmo de 8 na base binária 2). Computadores clássicos (os nossos) trabalham com matemática binária (bits), computadores quânticos (em desenvolvimento nos laboratórios avançados) trabalham com matemática quântica (qubits).

Ex: meu plano contratado atual é de 50 Mbits/s então minha velocidade de internet em MB/s (Mega Bytes por segundo) é igual a: 50 x 0,125 ou ainda 50/8 = 6,25 MB/s. Ou seja, para eu poder enviar (upload) um arquivo de 10 megas de peso, nessa velocidade, levaria o tempo de 10/6,25 = 1,6 segundos.

Segue a medição realizada pelo site: Copel Speed Teste Adsl

Ao clicar na imagem acima a página teste será aberta.

Sensor WiFi TP-Link Archer T1U (5 GHZ) 433 Mbits/s utilizado na medição

Esse dispositivo utiliza a velocidade da banda (frequência) base 5 GHZ, velocidade de transmissão de dados 433 Mbits/s = 54,125 MB/s é cerca de nove vezes mais rápido que uma internet fibra 50 Mbits/s. Clique na imagem para mais informações.

Fonte: Units of information

Transcendent Man (O homem transcendente) – Ray Kurzweil – Documentário Completo

Raymond Kurzweil, mais conhecido como Ray, é um inventor e cientista dos Estados Unidos. Em 1968, ainda estudante do MIT, Kurzweil fundou uma empresa que usava um programa de computador para combinar estudantes de ensino médio com universidades. Ele comparava milhares de critérios sobre cada instituição de ensino com respostas de questionários respondidos pelo próprio estudante. Aos vinte anos, vendeu sua empresa para a Harcourt, Brace & World por cem mil dólares mais royalties. Raymond recebeu BS em ciência da computação e literatura em 1970.

Ray, tem planos ousados de viver para sempre e segue uma dieta radical tomando 200 comprimidos com suplementos alimentares todos os dias. Atualmente sua principal atividade é reuniões, palestras e pesquisas sobre o momento onde atingiremos a singularidade em nosso avanço tecnológico.

Segue e-books recomendados

The Age of Spiritual Machines
The Singularity Is Near
Transcend
How to Create a Mind

Obs: leitor de Epub Mac/PC- Adobe Digital Editions

No dispositivo móvel recomendo: Readera Epub PDF Leitor

Créditos: Consciência Universal

Estamos vivendo numa era de inovação digital disruptiva

disruption-technologiesTecnologia disruptiva ou inovação disruptiva é um termo descrevendo a inovação tecnológica que utiliza uma estratégia “disruptiva” – para derrubar uma tecnologia ou prática existente e dominante no contexto onde estas se encontram. Disrupção é uma ruptura que surge como uma onda e cresce ao ponto de afetar dramaticamente qualquer produto ou serviço que poderá ser superado ou substituído por essa tendência.

A internet é o ambiente cuja inovação disruptiva tem sua origem

Com o aumento da velocidade dos links (conexões) de dados que chegam aos dispositivos conectados: sejam TVs digitais, Smartphones, Tablets, relógios inteligentes e aparelhos com internet embutida – os chamados IOTs (Internet of things – internet das coisas). As práticas (usos), os produtos e os serviços ofertados podem ser explorados livremente e independente de qualquer controle que antes era imposto por governos ou empresas que já atuavam nesse meio.

Exemplos de tecnologias disruptivas

Serviços

Buscador Google: busca com eficiência as informações submetidas.

Blogs: sistemas em formato de sites que possibilitam a publicação ou divulgação de informações; são gratuitos e já superam os principais sistemas de jornalismo e revistas digitais.

Redes Sociais: Facebook, Google+, Flicker, Instagran, Pinterest, etc.

Netflix: domina o streaming (fluxo contínuo de vídeo), oferece um serviço cujo preço é esmagador perto de outros canais digitais equivalentes como as TVs a cabo. No Brasil o preço da assinatura custa hoje R$ 19,90 mensal.

WhatsApp: chat em tempo real para tablets e smartphones.

Uber: é um produto e ao mesmo tempo um serviço de carona (acessado por meio de um aplicativo), cujos usuários chamam um carro particular para leva-los onde desejarem, tendo qualidade e em algumas praças, oferecem preços mais baixos do que os de taxis comuns encontrados nas principais cidades.

AirBnb: serviço de aluguel de hotéis que negocia o hotel ou pousada diretamente com o usuário por meio de um aplicativo.

Spotify: aplicativo que oferece milhões de músicas gratuitas, com a possibilidade de fazer coletâneas e compartilhar livremente nas redes sociais.

Wikipédia: um projeto de enciclopédia coletiva universal e multilíngue estabelecido na Internet sob o princípio wiki. A Wikipédia tem como objetivo fornecer um conteúdo reutilizável livre, objetivo e verificável​​, que todos possam editar e melhorar.

Ebooks: livros digitais que poder ser baixados livremente, tendo opções gratuitas e pagas.

Coursera: cursos gratuitos online para formação profissional e universitária, utilizam o método Curso Online Aberto e Massivo, do inglês Massive Open Online Course (MOOC), é um tipo de curso aberto ofertado por meio de ambientes virtuais de aprendizagem, ferramentas da Web 2.0 ou redes sociais que visam oferecer para um grande número de alunos a oportunidade de ampliar seus conhecimentos num processo de co-produção.

Produtos

Tesla Motors: carros elétricos e baterias residenciais ligadas a painéis solares.

Google e seus robôs e carros autônomos.

Apple com uma enorme variedade de produtos agregados.

Drones civis e militares que executam as mais diversas funções. Ex: robôs autônomos da Amazon para movimentar produtos em seus armazéns.

Intel e a IoT (Internet of Things – internet das coisas). Pretende conectar todo tipo de objetos como: óculos, copos, cafeteiras, camisetas, etc., na internet.

As tecnologias disruptivas vieram para ficar e os maiores beneficiários são os usuários que têm à sua disposição incontáveis opções de escolha com toda a liberdade que somente a internet pode oferecer.

Alguns exemplos de produtos que estarão em uso até 2020.

Amazon warehouse robots (Robôs no armazém da Amazon)

Humanoid Robots in Action (Robôs humanoides em ação) DARPA

Carros autônomos do Google

Korea Humanoid Robot (Robô humanoide da Coreia)

Fonte: TI Especialistas

Fonte: Wikipedia 

Fonte: Tec Hoje 

ZMOT – Conquistando o Momento Zero da Verdade

ZMOT
Clique para ler o livro diretamente – PDF. (Divulgação).

Este é um importante E-book (livro digital) que trata como o Marketing influencia nossas decisões de compra nos diversos segmentos sociais e nas várias fases de nossas vidas, principalmente no momento presente da sociedade da hipercomunicação.

ZMOT – Zero Moment of Truth (momento zero da verdade). O momento zero da verdade influencia quais marcas entram na lista de compras, onde os compradores preferem comprar e com quem podem compartilhar os resultados. Cabe a nós entrar nessa conversa neste novo momento em que as decisões são tomadas e fornecer as informações pelas quais os compradores estão ávidos de todas as maneiras.

Para usar ZMOT em seus produtos ou serviços contate: ZMOT INSTITUTE

Alguns assuntos tratados no livro

  • A jornada da decisão de compra mudou. O ZMOT é um novo acréscimo vital ao processo clássico de três etapas de estímulo, prateleira e experiência.
  • O que foi uma vez uma mensagem agora é uma conversa. Os compradores hoje encontram e compartilham suas próprias informações sobre produtos de sua própria maneira, em seu próprio tempo.
  • O boca a boca está mais forte do que nunca. Pela primeira vez na história da humanidade, o boca a boca é um meio arquivado digitalmente.
  • Nenhum MOT (moment of Truth – momento da verdade), é pequeno demais. Se os consumidores pesquisarão na Internet desde casas até assistência médica, eles também o farão com band-aids (curativos) e canetas esferográficas.
  • Os MOTs estão se encontrando. Nossos dispositivos móveis são máquinas de MOT.
    Conforme o uso de smartphones (dispositivos de comunicação inteligentes) cresce, os momentos zero, primeiro e segundo da verdade estão convergindo.

Conheça os 4 pilares do Zmot

  • O  Momento Zero da Verdade pode ser dividido em 4 diretrizes principais, chamadas de pilares, que o sustentam no mundo digital de acordo com o comportamento do consumidor moderno.
  • 1° Pilar: o ranqueamento orgânico passa a ser essencial uma vez que apenas os 3 primeiros sites classificados conseguem receber acessos constantes vindos dos internautas.
  • 2º Pilar: a busca por tabelas de comparação cresce à medida que mais e mais produtos surgem no mercado, tornando isso um diferencial de marca.
  • 3º Pilar: as avaliações de antigos consumidores também se tornam essenciais para o ZMOT, incentivando o que chamamos de marketing 4.0.
  • 4° Pilar: por fim, os cupons descontos e vales são a cereja no topo do bolo do ZMOT, levando os clientes a decidirem por uma escolha de consumo.

Créditos: Google

Contato: Zmote Insitute

O Jeito Google de Trabalhar (Dublado HD) – National Geographic

Sinopse: Filmado nos escritórios da Google na China, Rússia e no Googleplex, sua sede no Vale do Silício, este documentário revela uma filosofia corporativa e uma postura singular entre as grandes empresas da atualidade.

Créditos: NATGEOnosferahcorp

Google vence escritores em batalha de copyright nos Estados Unidos

Copyright

O Google venceu na quinta feira 14/11/2013 uma batalha épica nos Estados Unidos, contra os autores e escritores que tiveram seus livros hackeados pelo sistema do Google. Agora o Google está livre para continuar copiando todos os livros do planeta. Esta é uma ótima notícia, pois o conhecimento precisa fluir cada vez mais pelas teias digitais.

De acordo com a corte de Nova York, onde estava sediada a ação, a cópia de trechos pelo Google para deixá-los disponíveis em buscas online constituíam uso justo dentro da lei de direitos autorais do país.
Segundo o texto final, estudantes, professores, pesquisadores poderiam encontrar mais facilmente os trechos no serviço, que mantinha consideração pelos direitos dos autores.

“Na minha opinião, Google Books é uma fonte de benefícios públicos significativos”, disse o juiz Denny Chin.

A decisão é o ponto final de uma batalha judicial que começou em 2005 – estima-se que, caso fosse condenado, o Google teria de pagar US$ 3 bilhões à Sociedade dos Autores, uma vez que a associação demandava cerca de US$ 750 por livro copiado.

Fonte: Blog Estadão