O grande poder da matemática – documentários observatório do mundo

Para muitos, a matemática que aprendemos na escola parece uma série de regras estabelecidas pelos antigos e que não podem ser questionadas. O matemático Jordan Ellenberg nos mostra como essa visão é enganadora. A matemática não se limita a incidentes abstratos. Ela está em tudo que tocamos e vivemos, e se relaciona a questões do nosso cotidiano. Munidos dos instrumentos matemáticos adequados, podemos saber o verdadeiro significado de informações que antes considerávamos inquestionáveis. Quanto tempo antes devemos chegar ao aeroporto para não perder o voo? Há um método infalível para ganhar na loto? Aliás, é um bom negócio ganhar na loto? Como se devem contar os votos numa eleição democrática? As pesquisas eleitorais são confiáveis? Por que pais altos têm filhos mais baixos que eles? As respostas que a matemática dá a essas e outras perguntas surpreendem, mas Ellenberg guia o leitor pelo aparente emaranhado de argumentos, lançando mão do raciocínio matemático e expondo para os leigos os avanços da disciplina, sem os jargões próprios da área e com exemplos sucintos e casos históricos engraçados.

Fonte: YouTube

Créditos: São Paulo TV

Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos – Jaime Campos Ferreira

Capa - Elementos de lógica matemática e teoria dos conjuntos - Jaime Campos Ferreira
Clique na imagem para Ler/Baixar o Livro em PDF (divulgação).

Considero a lógica o assunto mais importante no campo da matemática, com ela refinamos nosso pensamento e alinhamos o entendimento para assuntos complexos. A lógica é imprescindível em todas as etapas de estudo, deveria receber mais atenção nas diversas fases de nossa aprendizagem.

Elementos de lógica matemática

Para melhor compreender as definições e teoremas que constituem as teorias Matemáticas cujo estudo vamos iniciar, é indispensável habituarmo-nos a usar uma linguagem mais precisa e rigorosa do que a que se utiliza, em geral, na vida corrente. A aquisição desse hábito pode ser facilitada pelo conhecimento de algumas noções e símbolos da Lógica Matemática, estudada neste livro, de forma muito resumida e largamente baseada na intuição. Convém, no entanto, observar que a Lógica Matemática tem hoje aplicações concretas extremamente importantes, em diversos domínios; uma das mais notáveis é, sem dúvida, a sua utilização no planeamento dos modernos computadores quânticos, tabletes e, principalmente os ditos “telefones inteligentes – Smartphones”.

Autor: Jaime Campos Ferreira

Fonte: IST

Simbologia matemática

Símbolo Nome lê-se como Categoria
+
adição mais aritmética
4 + 6 = 10 significa que se se somar 4 a 6, a soma, ou resultado, é 10.
Exemplo: 43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9
subtração menos aritmética
9 – 4 = 5 significa que se se subtrair 4 de 9, o resultado será 5. O sinal – é único porque também denota que um número é negativo. Por exemplo, 5 + (-3) = 2 significa que se se somar cinco e menos três, o resultado será dois.
Exemplo: 87 – 36 = 51

implicação material implica; se … então lógica proposicional
AB significa: se A for verdadeiro então B é também verdadeiro; se A for falso então nada é dito sobre B.
→ pode ter o mesmo significado de ⇒, ou pode ter o significado que mencionamos mais abaixo sobre as funções
x = 2  ⇒  x² = 4 é verdadeiro, mas x² = 4   ⇒  x = 2 é em geral falso (visto que x pode ser −2)

equivalência material se e somente se lógica proposicional
AB significa: A é verdadeiro se B for verdadeiro e A é falso se B é falso
x + 5 = y + 2  ⇔  x + 3 = y
conjunção lógica e lógica proposicional
a proposição AB é verdadeira se A e B foram ambos verdadeiros; caso contrário, é falsa
Exemplo: n < 4  ∧  n > 2  ⇔  n = 3 quando n é um número natural
disjunção lógica ou lógica proposicional
a proposição AB é verdadeira se A ou B (ou ambos) forem verdadeiros; se ambos forem falsos, a proposição é falsa
Exemplo: n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 quando n é um número natural
¬
/
negação lógica não lógica proposicional
a proposição ¬A é verdadeira se e só se A for falso
Uma barra colocada sobre outro operador tem o mesmo significado que “¬” colocado à sua frente
Exemplo: ¬(AB) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); xS ⇔  ¬(xS)
quantificação universal para todos; para qualquer; para cada lógica predicativa
∀ x: P(x) significa: P(x) é verdadeiro para todos os x
Exemplo: ∀ nN: n² ≥ n
quantificação existencial existe lógica predicativa
∃ x: P(x) significa: existe pelo menos um x tal que P(x) é verdadeiro
Exemplo: ∃ nN: n + 5 = 2n
=
igualdade igual a todas
x = y significa: x e y são nomes diferentes para a exata mesma coisa
Exemplo: 1 + 2 = 6 − 3
:=
:⇔
definição é definido como todas
x := y significa: x é definido como outro nome para y
P :⇔ Q significa: P é difinido como logicamente equivalente a Q
Exemplo: cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (AB) ∧ ¬(AB)
{ , }
chavetas de conjunto o conjunto de … teoria de conjuntos
{a,b,c} significa: o conjunto que consiste de a, b, e c
Exemplo: N = {0,1,2,…}
{ : }
{ | }
notação de construção de conjuntos o conjunto de … tal que … teoria de conjuntos
{x : P(x)} significa: o conjunto de todos os x, para os quais P(x) é verdadeiro. {x | P(x)} é o mesmo que {x : P(x)}.
Exemplo: {nN : n² < 20} = {0,1,2,3,4}

{}
conjunto vazio conjunto vazio teoria de conjuntos
{} significa: o conjunto sem elementos; ∅ é a mesma coisa
Exemplo: {nN : 1 < n² < 4} = {}

pertença a conjunto em; está em; é um elemento de; é um membro de; pertence a teoria de conjuntos
aS significa: a é um elemento do conjunto S; aS significa: a não é um elemento de S
Exemplo: (1/2)−1N; 2−1N

subconjunto é um subconjunto [próprio] de teoria de conjuntos
Exemplo: AB significa: cada elemento de A é também elemento de B (A é um subconjunto de B)
AB significa: AB mas AB (A é um subconjunto próprio de B)
Exemplo: ABA; QR
união teórica de conjuntos a união de … com …; união teoria de conjuntos
AB significa: o conjunto que contém todos os elementos de A e também todos os de B, mas mais nenhuns
Exemplo: AB ⇔  AB = B
intersecção teórica de conjuntos intersecta com; intersecta teoria de conjuntos
AB significa: o conjunto que contém todos os elementos que A e B têm em comum
Exemplo: {xR : x² = 1} ∩ N = {1}
\
complemento teórico de conjuntos menos; sem teoria de conjuntos
A \ B significa: o conjunto que contém todos os elementos de A que não estão em B
Exemplo: {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}
( )
[ ]
{ }
aplicação de função; agrupamento de teoria de conjuntos
para a aplicação de função: f(x) significa: o valor da função f no elemento x
para o agrupamento: execute primeiro as operações dentro dos parênteses
Exemplo: Se f(x) := x², então f(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, mas 8/(4/2) = 8/2 = 4
f:XY
seta de função de … para funções
fXY significa: a função f mapeia o conjunto X no conjunto Y
Exemplo: Considere a função fZN definida por f(x) = x²
N
números naturais N números
N significa: {0,1,2,3,…}
Exemplo: {|a| : aZ} = N
Z
números inteiros Z números
Z significa: {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
Exemplo: {a : |a| ∈ N} = Z
Q
números racionais] Q números
Q significa: {p/q : p,qZ, q ≠ 0}
3.14 ∈ Q; π ∉ Q
R
números reais R números
R significa: {limn→∞ an : ∀ nN: anQ, o limite existe}
π ∈ R; √(−1) ∉ R
C
números complexos C números
C significa: {a + bi : a,bR}
i = √(−1) ∈ C
<
>
comparação é menor que, é maior que ordenações parciais
x < y significa: x é menor que y; x > y significa: x é maior que y
Exemplo: x < y ⇔  y > x

comparação é menor ou igual a, é maior ou igual a ordenações parciais
xy significa: x é menor que ou igual a y; xy significa: x é maior que ou igual a y
Exemplo: x ≥ 1  ⇒  x² ≥ x
raiz quadrada a raiz quadrada principal de; raiz quadrada números reais
x significa: o número positivo, cujo quadrado é x
Exemplo: √(x²) = |x|
infinito infinito números
∞ é um elemento da linha numérica estendida que é maior que qualquer número real; ocorre com frequência em limites
Exemplo: limx→0 1/|x| = ∞
π
pi pi geometria euclidiana
π significa: a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro
Exemplo: A = πr² é a área de um círculo de raio r
!
factorial factorial análise combinatória
n! é o produto 1×2×…×n
Exemplo: 4! = 24
| |
valor absoluto valor absoluto de; módulo de números
|x| significa: a distância no eixo dos reais (ou no plano complexo) entre x e zero
Exemplo: |”a” + ”bi”| = √(a² + b²)
|| ||
norma norma de; comprimento de análise funcional
||x|| é a norma do elemento x de um espaço vectorial
Exemplo: ||”x”+”y”|| ≤ ||”x”|| + ||”y”||
soma soma em … de … até … de aritmética
k=1n ak significa: a1 + a2 + … + an
Exemplo: ∑k=14 k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
produto produto em … de … até … de aritmética
k=1n ak significa: a1a2···an
Exemplo: ∏k=14 (k + 2) = (1  + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360
integração integral de … até … de … em função de cálculo
ab f(x) dx significa: a área entre o eixo dos x e o gráfico da função f entre x = a e x = b
0b x² dx = b³/3; ∫x² dx = x³/3
f
derivada derivada de f; primitiva de f cálculo
f ‘(x) é a derivada da função f no ponto x, i.e. o declive da tangente nesse ponto
Exemplo: Se f(x) = x², então f ‘(x) = 2x
gradiente del, nabla, gradiente de cálculo
f (x1, …, xn) é o vector das derivadas parciais (df / dx1, …, df / dxn)
Exemplo: Se f (x,y,z) = 3xy + z² então ∇f = (3y, 3x, 2z)

fonte:  Wikipedia
créditos: Exata