Aprenda organizar espaços e subespaços na matemática

Figura 1 – Definimos em P(n) a probabilidade de um evento n ocorrer.

A Probabilidade Condicional determina a probabilidade de um evento A ocorrer na certeza da ocorrência de um evento B, qualquer que seja a ordem dos eventos.

É representado por: P(A/B) = P(A∩B)/P(A) Lê-se: a probabilidade do evento A na certeza do evento B. A cardinalidade do número natural é ℵ0 (lê-se alef-nulo ou alef-zero), o cardinal seguinte maior é ℵ1, depois vem ℵ2 e assim por diante. Continuando desta maneira, é possível definir um número cardinal ℵα para qualquer número ordinal α.

O que é um espaço/subespaço

São as possibilidades existenciais em todos os sentidos que podemos imaginar, conceber e principalmente medir. A existência (universo) nasceu com suas próprias leis da física (inclusos os espaços e subespaços); então, não podemos conceber algo que não esteja incorporado nas leis da física. Fora da ficção, literatura, filosofia, licença poética; tais coisas em si mesmas não podem existir – caso estejam fora de algum espaço ou subespaço. A infraestrutura de nosso universo ou de outros universos é formada por espaços e subespaços em sentido físico e amplo do termo.

Espaço em matemática

O espaço é a extensão tridimensional ilimitada e infinita em que objetos e eventos têm posições e direções relativas. É dentro dos espaços e suas subdivisões (subespaços), onde encontramos todas as possibilidades existenciais no universo físico (leis da física) e no Universo do discurso matemático (UDM).

O que são conjuntos?

Podemos defini-los como: a organização dos espaços e subespaços matemáticos. Para que possamos aprender matemática em profundidade é necessário aprendermos a linguagem moderna dos conjuntos. Por uma questão de notações e convenções seguidas por quase todos os matemáticos e este autor, usaremos letras MAIÚSCULAS para representar conjuntos e letras minúsculas para representar os elementos de um conjunto. Os elementos de qualquer conjunto são colocados entre chaves, ou seja, “{” e “}”. Além disso, se um objeto x pertence a um conjunto X, o representamos como x X. Da mesma forma, se um elemento não pertence ao conjunto, escrevemos x ∉ X. Importante: tanto as notações quanto toda a simbologia matemática, ocupam locais que chamamos de espaços, ao local dentro de outro local podemos nomear como subespaços.

O que são elementos?

Um conjunto é uma coleção de objetos chamados elementos ou membros. Um conjunto sem objetos é chamado conjunto vazio e é denotado por 0 (zero, ou às vezes por {} abre e fecha chaves sem conteúdo).

Ex: S:= {0,1,2,3}

Com os símbolos:= (dois pontos e igual), queremos dizer que estamos definindo o que é S, ao invés de apenas mostrar uma igualdade. Nós escrevemos:

1 ∈ S

para denotar que o número 1 pertence ao conjunto S, ou seja, 1 é um membro de S. Às vezes queremos dizer que dois elementos estão em um conjunto S, então escrevemos “1, 2 ∈ S” como uma abreviação para “1 ∈ S e 2 ∈ S”. Da mesma forma, escrevemos:

5 ∉ S

para denotar que o número 5 não está em S, ou seja, 5 não é membro de S.

Os elementos de todos os conjuntos em consideração vêm de algum conjunto que chamamos universo. Para simplificar, muitas vezes consideramos o universo como o conjunto que contém apenas os elementos nos quais estamos interessados. O universo é geralmente entendido a partir do contexto e não é mencionado explicitamente. Neste contexto, nosso universo será na maioria das vezes o conjunto de números reais. Enquanto os elementos de um conjunto geralmente são números – outros objetos; como outros conjuntos, podem ser elementos de um conjunto. Um conjunto também pode conter alguns dos mesmos elementos que outro conjunto.

Por exemplo:

T:= {0, 2}

contém os números 0 e 2. Neste caso, todos os elementos de T também pertencem a S. Escrevemos T ⊂ S. Observe:

Figura 2. Um diagrama dos conjuntos do exemplo S e seu subconjunto T. Observe que estamos organizando o espaço de S com seu subespaço interior T.

Aprenda ler matemática

Talvez a maior gafe encontrada no ensino da matemática é quando os alunos não sabem ler as equações e os objetos matemáticos. Ao observar um símbolo, uma fórmula ou equação, você não pode ficar com a dúvida cruel sobre a simbologia empregada, o contexto e principalmente a verbalização da frase na explicação de cada elemento apresentado. Ao olhar para a matemática: você não pode guardar a dúvida – resolva a dúvida de imediato (pergunte ao professor ou pesquise na internet em locais confiáveis com fontes de referência – como neste blog) – jamais fique na dúvida sobre: pontos, linhas, gráficos, letras, símbolos, equações, etc.

Realidade (física) e matemática (subjetiva)

O universo (realidade ou natureza) é 100% físico, não há existências fora das leis da física (isso inclui a mecânica quântica e teoria da relatividade); portanto, não há matemática escondida na natureza, você não deve procurar matemática na natureza, se fizer isso cometerá o tão falado: viés de confirmação, parte do viés cognitivo. Toda a matemática é 100% subjetiva e como tal é apenas um produto de nosso cérebro que usa nossos sentidos (simulação cerebral) – estão inclusos -, nossos pensamentos para que possamos intuir a matemática. É por esse motivo que nós não podemos ter acesso direto à realidade física sem antes passarmos pela simulação de nosso cérebro – nossos corpos -, funcionam como se fossem sensores ou antenas, por meio dos quais nosso cérebro simula o mundo ao nosso redor. Ex: uma teia de aranha, uma folha, o padrão das conchas, favos de mel, etc. Essas coisas são apenas representações da realidade, geradas por nosso cérebro. Inclusive a dupla hélice de nosso DNA, é apenas uma construção matemática que nós atribuímos pela forma como nosso cérebro consegue interpretar a realidade física por meio de uma simulação interna. Fique atento: somente depois que a matemática foi transformada em experimentos confrontados com o mundo físico (leis da física), é que a realidade toma forma e alcançamos a verdade dos fatos. Enquanto a matemática for apenas um apanhado de fórmulas e símbolos em nossas cabeças, o lá fora estará sempre vazio ∅, cuja existência é uma nebulosidade indefinida.

Teorema, proposição, lema e corolário

Teorema

Em matemática, um teorema é uma afirmação que tem sido provada, ou pode ser provada. A prova de um teorema é um argumento lógico que usa as regras de inferência de um sistema dedutivo para estabelecer que o teorema é uma consequência lógica dos axiomas e teoremas previamente provados.

Terminologia

Há vários termos diferentes para afirmações matemáticas, esses termos indicam o papel que as declarações desempenham em um determinado assunto. A distinção entre termos diferentes às vezes é bastante arbitrária, e o uso de alguns termos evoluiu ao longo do tempo.

  • Um axioma ou postulado, é um pressuposto fundamental em relação ao objeto estudado, que é aceito sem comprovação. Um conceito relacionado é o de uma definição, que dá o significado de uma palavra ou frase em termos de conceitos conhecidos. A geometria clássica discerne entre axiomas, que são afirmações gerais e postulados, que são afirmações sobre objetos geométricos. Historicamente, os axiomas eram considerados “evidentes”, hoje eles são meramente considerados verdadeiros.
  • Uma conjectura é uma afirmação não comprovada que se acredita ser verdadeira. Conjecturas são normalmente apresentadas em público, e nomeadas após seu criador (por exemplo, a conjectura de Goldbach e Collatz conjectura). O termo hipótese também é usado neste sentido (por exemplo, hipótese de Riemann), que não deve ser confundido com “hipótese” como premissa de uma prova. Outros termos também são usados ​​ocasionalmente; por exemplo, problema quando as pessoas não têm certeza se a afirmação deve ser considerada verdadeira. O Último Teorema de Fermat foi historicamente chamado de teorema; embora, por séculos, tenha sido apenas uma conjectura.
  • Um teorema é uma afirmação que foi comprovada como verdadeira com base em axiomas e outros teoremas.
  • Uma proposição é um teorema de menor importância, ou considerado tão elementar ou imediatamente óbvio, que pode ser declarado sem provas. Isso não deve ser confundido com “proposição” conforme usada na lógica proposicional. Em geometria clássica o termo “proposição” foi usado de maneira diferente: em Os Elementos de Euclides (300 AEC), todos os teoremas e construções geométricas foram chamados de “proposições”, independentemente da sua importância.
  • Um lema é uma “proposição acessória” – uma proposição com pouca aplicabilidade fora de seu uso em uma prova particular. Ao longo do tempo um lema pode ganhar em importância e ser considerado um teorema, embora o termo “lema” geralmente é mantido como parte de seu nome (por exemplo, o lema de Gauss, o lema de Zorn, e os lemas fundamentais).
  • Um corolário é uma proposição que segue imediatamente de outro teorema ou axioma, com pouca ou nenhuma prova exigida. Um corolário também pode ser uma reafirmação de um teorema em uma forma mais simples, ou para um caso especial: por exemplo, o teorema “todos os ângulos internos em um retângulo são ângulos retos” tem um corolário que “todos os ângulos internos em um quadrado são ângulos retos” – um quadrado sendo um caso especial de um retângulo.
  • A generalização de um teorema é um teorema com uma afirmação semelhante, mas em um escopo mais amplo, a partir do qual o teorema original pode ser deduzido como um caso especial (um corolário).

Resumo

Aos resultados acima chamamos de Teorema, enquanto a maioria dos resultados chamamos de Proposições, e para alguns chamamos de Lema (um resultado que leva a outro resultado) ou Corolário (uma consequência rápida do resultado anterior). Não se concentre muito na nomenclatura. Algumas são tradicionais, outras são escolhas estilísticas. Não é necessariamente verdade que um Teorema é sempre “mais importante” que uma Proposição ou um Lema. Também precisaremos cruzar ou unir vários conjuntos de uma só vez. Se houver apenas um número finito, então simplesmente aplicamos a operação de união ou interseção várias vezes.

Sugestões importantes

Há várias estratégias diferentes para provar proposições. Além de usar diferentes métodos de prova, os alunos geralmente cometem alguns erros comuns quando estão aprendendo a provar teoremas. Para auxiliar os alunos que estudam matemática abstrata pela primeira vez, listo aqui algumas das dificuldades encontradas e algumas das estratégias de prova disponíveis.

  • Um teorema não pode ser provado por exemplo; no entanto, a maneira padrão de mostrar que uma afirmação não é um teorema é fornecer um contraexemplo.
  • Os quantificadores são importantes. Palavras e frases como: somente, para todo, para todos e para alguns, possuem significados diferentes.
  • Nunca assuma nenhuma hipótese que não esteja explicitamente declarada no teorema. Você não pode tomar as coisas como garantidas.
  • A matemática é desprovida de realidade (a física é o mundo natural ou real, a matemática será sempre subjetiva – nossa ferramenta mais importante).
  • Suponha que você queira mostrar que um objeto existe e é único. Primeiro, mostre que realmente existe tal objeto. Para mostrar que é único, suponha que existam dois desses objetos, digamos x e y, e então mostre que x = y.
  • Às vezes é mais fácil provar a contra positiva de uma afirmação. Provar a afirmação “Se p, então q” é exatamente o mesmo que provar a afirmação “Se não q, então não p”.
  • Embora, geralmente seja melhor encontrar uma prova direta de um teorema, essa tarefa às vezes pode ser difícil. Pode ser mais fácil supor que o teorema que você está tentando provar é falso e esperar que no decorrer do seu argumento você seja forçado a fazer alguma afirmação que não pode ser verdadeira.

Universo do discurso matemático (UDM)

Acima falamos do universo real das leis da física que é independente de nossos conceitos ou suposições, quando falamos de matemática podemos utilizar o que chamo de “universo do discurso matemático UDM” para representar todo o repertório de objetos ou elementos que fazem uso da lógica subjetiva inventada por nós e espelhada em nossa simulação construída por nosso cérebro (abstrações/intuições).

Ex1: construtor de conjuntos

C = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}

Lê-se: C é igual ao espaço x que pertence a R (conjunto dos reais) tal que 0 é menor ou igual ao espaço x que é menor ou igual 1.

Ou, também podemos ler como: “C é uma coleção de todos os elementos x de R tais que 0 é menor ou igual a x e x é menor ou igual a 1”.

Considere a coleção C, que faremos do nosso universo R de números reais da forma maior ou igual a 0 e menor ou igual a 1. Vejamos se podemos listar os elementos como acima. Claramente, 0 é um número real que segue nosso critério para estar na coleção e 1 também. Existe algum outro número real entre 0 e 1 que também satisfaça o critério? Sim! Um desses números é 1/2 (particionamento de espaços).

Considerando a maneira de escrever conjuntos tratadas no exemplo 1 acima, faremos os seguintes conjuntos do conjunto dos números reais R:

(conjunto vazio) – existencial e sem elementos.

N = {1, 2, 3, ···} ,

Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,…},

Q = {p/q ∈ R|p ∈ Z e q ∈ N},

Q+ = {x ∈ Q|x > 0},

Q = {x ∈ Q|x < 0},

Q = {x ∈ Q|x ≠ 0},

R+ = {x ∈ R|x > 0},

R = {x ∈ R|x < 0},

R = {x ∈ R|x ≠ 0}.

Neste exemplo, usamos essas notações para os conjuntos definidos acima. Aqui, o conjunto N é chamado de conjunto dos números naturais, Z é chamado de conjunto dos inteiros e Q é chamado de conjunto dos números racionais. Um conjunto que ainda não escrevemos e ao qual não damos uma notação é o conjunto dos números irracionais. Será tratado em outro poste o motivo é a falta de espaços aqui.

Vimos até agora que podemos formar conjuntos que contêm números. Uma pergunta natural surge: existem conjuntos que contêm elementos que não são apenas números? Bem, como podemos ter visto em nosso ensino médio, os conjuntos podem conter quaisquer tipos de elementos: números, alfabetos, palavras ou; na verdade, um conjunto de livros ou papeis também é um conjunto! Nesta fase, porém, uma pergunta melhor pode ser feita: os elementos de um conjunto podem ser conjuntos? Vamos tentar descobrir por meio de exemplos:

Famílias de conjuntos

Considere o conjunto dos números reais, R. Desejamos coletar todos os conjuntos construídos a partir dos elementos de R que contêm 0. Agora, estamos coletando conjuntos em vez de elementos individuais de R. Podemos ter um desses conjuntos? Sim, o próprio R. Podemos ter outro? Novamente a resposta é sim! {0} é outro conjunto desse tipo. Claramente, listar todos esses conjuntos seria impraticável. Então, usaremos uma função construtora de conjuntos para escrever nossa coleção que chamaremos de F. Então temos:

F = {S|S é construído a partir dos elementos de R e 0 ∈ S}

Lê-se: F é uma função igual ao conjunto S, tal que S é construído a partir dos elementos de R e 0 ∈ pertence a S.

Os elementos de conjuntos podem ser os próprios conjuntos. Sempre que tal coisa acontece, ou seja, temos uma coleção de conjuntos, devemos usar letras (como o F que usamos acima) para escrevê-las. Antes de prosseguir, vamos tentar obter uma coleção de conjuntos, onde os conjuntos serão construídos a partir de N.

Ex2: indexação de conjuntos

Consideremos, como nosso universo, o conjunto dos números naturais N e para cada número natural n ∈ N, tentamos coletar conjuntos (construídos a partir de N) que tenham todos os elementos de 1 a n. Isso significa dizer que coletamos conjuntos Sn para cada n. Aqui, se tentarmos dar diferentes símbolos (letras) a cada um desses conjuntos, ficaremos sem símbolos! Assim, tentamos “indexar” esses conjuntos. Ou seja, escrevemos Sn = {1, 2, ···, n}, onde se entende que à medida que n muda, os elementos do conjunto Sn também mudam. Portanto, S1 = {1}, S2 = {1, 2}, S3 = {1, 2, 3} e assim por diante. Assim, escrevemos nossa família de conjuntos como:

F = {Sn|n ∈ N}

Lê-se: a função ou família F é igual ao conjunto Sn tal que n pertence ∈ a N.

Aqui, dizemos que F é uma família de conjuntos indexada por N; o conjunto dos números naturais N é chamado de conjunto de índices e n é chamado de índice.

Conjuntos nem sempre são indexados por números naturais. Também podemos indexar conjuntos por outros conjuntos, como: inteiros, números racionais, números reais, ou mesmo por um conjunto que não é necessariamente um conjunto de números. Na maioria das vezes, consideraremos um conjunto de índice arbitrário, que denotamos por Λ (Letra grega Lambda Maiúscula ou λ minúscula, ao longo do texto), cujos elementos não são exatamente conhecidos por nós. Usaremos letras gregas maiúsculas para denotar conjuntos de índices arbitrários e as letras gregas pequenas (correspondentes) para denotar os elementos do conjunto de índices. Portanto, em geral, uma família indexada de conjuntos será escrita como:

F = {Aλ|λ ∈ Λ}

Antes de prosseguir, vamos tentar ver um tipo especial de coleção. Suponha que nosso universo seja o conjunto de todos os humanos que vivem na Terra. Suponha que uma pessoa como nós deseja coletar todos aqueles humanos que têm 5 mãos, 6 pernas e 4 caudas. Existe algum ser humano vivo na terra com essas configurações? A resposta é não! Então, nossa coleção não tem nenhum elemento. Um conjunto sem elementos é chamado de conjunto vazio e é denotado por . Uma pessoa com boa experiência em lógica pode fazer uma pergunta neste ponto: em todos os lugares foi escrito um (conjunto vazio). O uso de “um” é justificado? Em outras palavras, o conjunto vazio é único? Abordaremos essa questão mais tarde, depois de termos visto o suficiente sobre operações e igualdades de conjuntos.

Operações em conjuntos

Assim que tivermos os conjuntos, podemos começar a brincar com eles. A primeira coisa que podemos fazer neste momento é comparar dois conjuntos. Em primeiro lugar, abordaremos a questão: quando podemos dizer que dois conjuntos são iguais? No início, definimos nossos conjuntos como coleções. Primeiramente notamos que durante a coleta, não damos importância à ordem em que são coletados. Como resultado, os conjuntos {1, 2} e {2, 1} são os mesmos. O que observamos? Dados dois conjuntos X e Y, quando podemos dizer que eles são iguais? Uma resposta baseada em completa intuição e observação é: Sempre que todo elemento de X é um elemento de Y e todo elemento de Y é um elemento de X. A definição formal (matemática) de igualdade será dada um pouco mais tarde.

A próxima tarefa que podemos fazer é observar os conjuntos que definimos na seção acima. Se olharmos com atenção, todo número natural também é um número inteiro (positivo). Esses dois conjuntos são iguais? Intuitivamente, a resposta a esta pergunta é: Não! 0 é um desses elementos em Z (inteiros) que não é um número N (natural). No entanto, o conjunto dos números inteiros têm todos os elementos do conjunto dos números naturais. Neste caso, chamamos o conjunto dos números naturais de subconjunto do conjunto dos inteiros.

Agora estamos prontos para as definições formais de subconjunto e igualdade.

Obs: o número “0” Zero, foi inventado há mais ou menos 2600 anos, é por isso que não é considerado um número natural, muito cuidado para não fazer confusão entre Z (inteiros com 0) e N (naturais sem 0).

Subconjuntos

Um conjunto X é um subconjunto de um conjunto Y se ∀x ∈ X, x ∈ Y. Isto é denotado por X ⊆ Y.

Essa expressão é lida como: um conjunto X é um subconjunto de um conjunto Y se ∀x ∈ X, x ∈ Y (para todo x que pertence a X, x pertence a Y), significa que X ⊆ Y (X está contido ou é igual a Y).

Nota1: Se o conjunto Y tem pelo menos um elemento que não está em X, então X é chamado de subconjunto próprio de Y. Isso é denotado por X ⊂ Y ao longo da explicação.

Nota2: se X é um subconjunto de Y, então Y é chamado de superconjunto de X.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos X e Y são iguais se ∀x ∈ X, x ∈ Y e ∀y ∈ Y, y ∈ X. Isso é equivalente a X ⊆ Y e Y ⊆ X. A igualdade é denotada por X = Y.

Agora, tentamos construir mais conjuntos novos dos conjuntos que já temos. Dados quaisquer dois conjuntos X e Y, uma maneira de fazer um novo conjunto é coletar todos os elementos de X e todos os elementos de Y em uma única coleção, digamos Z. Assim, qualquer elemento de Z é de X ou de Y (ou mesmo ambos, se tiverem elementos em comum). Um conjunto formado dessa maneira é chamado de união de X e Y. Outra maneira de fazer um novo conjunto é coletar os elementos que estão em X e Y e colocá-los em uma única coleção, digamos U. Essa coleção é chamada de interseção de X e Y. Passamos agora para a definição formal de união e interseção.

Definições gerais

Um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se x ∈ A implicar x ∈ B, e escrevemos A ⊂ B. Ou seja, todos os membros de A também são membros de B. Às vezes escrevemos B ⊃ A que significar a mesma coisa.

Dois conjuntos A e B são iguais se A ⊂ B e B ⊂ A. Escrevemos A = B. Ou seja, A e B contêm exatamente os mesmos elementos. Se não for verdade que A e B são iguais, então escrevemos A ≠ B.

Um conjunto A é um subconjunto próprio de B se A ⊂ B e A ≠ B. Escrevemos A ⊊ B Lê-se: A está contido, mas não é igual a B.

Para o exemplo da Figura 2 acimaS e T -, T ⊂ S, mas T ≠ S. Então T é um subconjunto próprio de S (T ⊊ S, ilustrando o fato de que T é subconjunto de S ou, equivalentemente, que S é um superconjunto de T). Se A = B, então A e B são simplesmente dois nomes para o mesmo conjunto.

Uso de espaços construtores de conjuntos

Para definir conjuntos, muitas vezes usa-se a notação do “espaço” construtor de conjuntos:

{x ∈ A : P(x)}

Lê-se: x pertence a A, tal que, P(x) é verdadeiro, dentro do espaço que começa com {abre e fecha chaves}.

Esta notação refere-se a um subconjunto do conjunto A contendo todos os elementos de A que satisfazem a propriedade P(x). Usando S = {0, 1, 2} como acima, {x ∈ S:x ≠ 2} é o conjunto {0, 1}. A notação é às vezes abreviada como {x:P(x)}, ou seja, A não é mencionado quando entendido a partir do contexto. Além disso, x ∈ A às vezes é substituído por uma fórmula para facilitar a leitura da notação.

Exemplos de notações comuns para conjuntos

  • O conjunto dos números naturais, N:= {1, 2, 3, . . .}.
  • O conjunto de inteiros, Z:= {0, −1, 1, −2, 2, . . .}.
  • O conjunto dos números racionais, Q:= {m/n:m, n ∈ Z e n ≠ 0}.
  • O conjunto dos números naturais pares, {2m:m ∈ N}.
  • O conjunto dos números reais, R.
Figura 3. Observe que NZQR C (os Naturais N estão contidos nos Inteiros Z, contidos nos racionais Q, contido nos reais R, contidos nos C complexos).

Obs: montamos nossos conjuntos a partir da organização de conjuntos anteriores previamente estabelecidos.

União e interseção de conjuntos

União

Significa a associação ou combinação de vários elementos, semelhantes ou diferentes, com o intuito de formar um conjunto. Junção, ligação e conexão são alguns dos sinônimos da palavra união, e que nos ajudam a entender o significado amplo deste termo.

A união de dois conjuntos A e B é definida como:

A ∪ B:= {x:x ∈ A ou x ∈ B}

Lê-se: a união do conjunto A com o conjunto B, é igual ao espaço x tal que x pertente a A ou x pertence a B).

Interseção

Significa a operação sobre dois ou mais conjuntos de que resulta um conjunto com todos os elementos que são comuns.

A interseção de dois conjuntos A e B é definida como:

A ∩ B:= {x:x ∈ A e x ∈ B}

Lê-se: a interseção do conjunto A com o conjunto B, é igual ao espaço x tal que x pertente a A e x pertence a B).

Complementar

Que completa ou complementa. Acrescentar, adicionar o elemento que falta a alguma coisa. Receber o que completa ou conclui alguma coisa: completar um trabalho.

Um complemento de B em relação a A (ou diferença teórica de conjuntos de A e B) é definido como:

A\B:= {x:x ∈ A e x ∉ B}

Lê-se: o complementar de B em relação a A é igual ao espaço x tal que x pertence a A e x não pertence a B.

Dizemos complemento de B e escrevemos Bc em vez de A\B se o conjunto A é o universo inteiro ou se é o conjunto óbvio que contém B, e é entendido a partir do contexto.

B\A:= {x:x ∈ B e x ∉ A}

Lê-se: o complementar de A em relação a B é igual ao espaço x tal que x pertence a B e x não pertence a A.

Dizemos complemento de A e escrevemos Ac (quando aparece de forma isolada) em vez de B\A se o conjunto B é o universo inteiro ou se é o conjunto óbvio que contém A, e é entendido a partir do contexto.

Conjuntos disjuntos

Dois conjuntos são ditos disjuntos se não tiverem nenhum elemento em comum. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos se sua interseção for o conjunto vazio .

Dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos se A ∩ B = ∅.

Obs: a notação Bc (idem para Ac) pode ser um pouco vaga neste ponto. Se o conjunto B é um subconjunto dos números reais R, então Bc significa R\B. Se B é naturalmente um subconjunto dos números naturais, então Bc é N\B. Se uma ambiguidade pode surgir, usamos a notação de diferença de conjunto A\B (lê-se: A menos B).

Ex3:

Figura 4. Diagramas de Venn com operações de conjuntos, o resultado da operação é sombreado.

Operações com conjuntos

Ilustramos as operações nos diagramas de Venn na Figura 4. Vamos agora estabelecer um dos teoremas básicos sobre conjuntos e lógica.

Lei de Morgan. Sejam os conjuntos A, B, C. Então:

(B C)c = Bc Cc,

(B ∩ C)c = Bc ∪ Cc.

Ou, simplificando:

A \ (B C) = (A \ B) (A \ C),

A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).

Prova. A primeira afirmação é provada pela segunda afirmação se assumirmos que o conjunto A é nosso “universo”. Vamos provar A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C). Lembre-se da definição de igualdade de conjuntos. Primeiro, devemos mostrar que se x ∈ A \ (B ∪ C), então x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C). Em segundo lugar, devemos também mostrar que se x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C), então x ∈ A \ (B ∪ C). Então, vamos supor que x ∈ A \ (B ∪ C). Então x está em A, mas não em B nem em C. Portanto, x está em A e não em B, ou seja, x ∈ A \ B. Da mesma forma x ∈ A \ C. Assim x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C). Por outro lado, suponha que x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C). Em particular, x ∈ (A \ B), então x ∈ A e x ∉ B. Também como x ∈ (A \ C), então x ∉ C. Daí x ∈ A \ (B ∪ C).

No entanto, suponha que temos uma coleção infinita de conjuntos (um conjunto de conjuntos) {A1, A2, A3, . . .}. Nós definimos:

\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}:=\left\{x: x \in A_{n} \ para \ alguns \ n \in \mathbb{N}\right\}

Esta expressão é lida como: a união que começa em n = 1 e vai até ao infinito do conjunto An, é igual ao espaço x, tal que x ∈ pertence à An, para alguns n que pertencem ao conjunto N.

\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}:=\left\{x: x \in A_{n} \ para \ todos \ n \in \mathbb{N}\right\}

Esta expressão é lida como: a interseção que começa em n = 1 e vai até ao infinito do conjunto An, é igual ao espaço x, tal que x ∈ pertence à An, para todos os n que pertencem ao conjunto N.

Também podemos ter conjuntos indexados por dois números naturais. Por exemplo, podemos ter o conjunto de conjuntos {A1,1, A1,2, A2,1, A1,3, A2,2, A3,1, . . .}. Então escrevemos:

\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=1}^{\infty} A_{n, m}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{m=1}^{\infty} A_{n, m}\right)

E da mesma forma com os cruzamentos. Não é difícil ver que podemos tomar a união em qualquer ordem. No entanto, mudando a ordem de uniões e cruzamentos geralmente não é permitido sem prova. Por exemplo:

\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{m=1}^{\infty}{k \in N : m k<n}=\bigcup^{\infty} \emptyset=\emptyset

No entanto,

\bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=1}^{\infty}{k \in N : m k<n}=\bigcap_{m=1}^{\infty} N = N

Às vezes, o conjunto de índices não são os números naturais. Nesse caso, exigimos uma descrição mais geral da notação. Suponha que λ seja algum conjunto e para cada λ ∈ I, existe um conjunto . Então definimos:

\bigcup_{\lambda \in I} A_{\lambda}:=\left\{x: x \in A_{\lambda} \text { para alguns } \lambda \in I\right\}, \bigcap_{\lambda \in I} A_{\lambda}:=\left\{x: x \in A_{\lambda} \text { para todos } \lambda \in I\right\}

União e interseção arbitrárias

Dos conjuntos construídos a partir de R, para cada par, dado uma união e uma interseção. O que podemos observar?

As definições de união e interseção são feitas apenas para dois conjuntos. Mas, gostaríamos de fazer uma definição geral para uma coleção arbitrária de conjuntos cuja união e interseção precisamos encontrar. Simplesmente estendendo as definições (cuja origem é nossa intuição), obtemos as seguintes definições para uniões e interseções de famílias arbitrárias de conjuntos.

União arbitrária

Dado uma família arbitrária de conjuntos indexados F = {Aλ|λ ∈ Λ} a união desta família é a coleção de elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos da família. Nós a escrevemos como:

\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}=\left\{x \mid \exists \lambda_{0} \in \Lambda \text { tal que } x \in A_{\lambda_{0}}\right\}

Interseção arbitrária

Dada uma família arbitrária de conjuntos indexados: F = {Aλ|λ ∈ Λ} a interseção desta família é a coleção de elementos que estão em todos os conjuntos da família. Nós o escrevemos como:

\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}=\left\{x \mid \forall \lambda \in \Lambda, x \in A_{\lambda}\right\}

Como observado no Ex:02 acima, podemos ver que a interseção de alguns conjuntos pode ser o conjunto vazio, ou seja, pode haver conjuntos X e Y tais que X ∩ Y = ∅. Tais conjuntos são chamados disjuntos. Em particular, o leitor deve ter observado que Q+ e Q são disjuntos. Se tomarmos a união de tais conjuntos (cuja interseção é vazia), a união é chamada de união disjunta. Como observação imediata, podemos concluir que Q é a união disjunta de Q+ e Q. Da mesma forma, se F = {Aλ|λ ∈ Λ} é uma família indexada arbitrária, então F é uma família disjunta se:

\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}=\emptyset

Aqui, podemos ter outro conceito, muitas vezes chamado de disjunção de pares. Diz-se que a família F é disjunta aos pares se:

∀λ1, λ2 ∈ Λ com λ1 ≠ λ2, temos Aλ1 ∩ Aλ2 = ∅

Complementares estendidos (complemento relativo ou diferença)

Outra maneira de obter novos conjuntos dos antigos é coletar todos os elementos que não estão no conjunto fornecido. Chamamos essa coleção de complemento do conjunto dado. Dado um conjunto A, seu complemento é a coleção de elementos que não estão em A. Nós o escrevemos como:

A^{c}={x \mid x \notin A}

Aqui, devemos notar que não conhecemos nada “fora” do nosso universo do discurso (UDM). Portanto, para definir um complemento, precisamos de um conjunto universal. Nós o chamamos, por enquanto, de U. Como não sabemos o que está fora de U; claramente, Uc = ∅ e também, c = U, já que nenhum dos elementos de U está em . Assim, uma melhor maneira de escrever complementos é:

Ac = {x ∈ U|x ∉ A}

Lê-se: o conjunto complementar de A é igual ao espaço x que pertence ao conjunto U, tal que x não pertence ao conjunto A.

Além de receber complementos, uma maneira de obter novos conjuntos de dois conjuntos A e B é coletando os elementos que estão apenas em um dos conjuntos e não em outro. Chamamos isso de complemento relativo ou diferença de conjuntos.

Diferenças entre problemas na física e problemas matemáticos

Figura 5. Problemas da física x problemas da matemática.

No diagrama da figura 5, podemos observar a diferença de um problema físico que tem 100% de realidade, comparado a um problema matemática que tem 100% de abstração. Resolver um problema do mundo físico diretamente é difícil, então precisamos fazer a abstração (intuir o problema) e realizar a simulação com possibilidades infinitas dentro do escopo {espaços} da matemática. Quando atingimos o nível da demonstração (todas as equações resolvidas), podemos partir para o campo da física e colocar em prática a nossa solução. Somente após os testes na prática é que teremos a comprovação (experiência) de que a solução física foi encontrada. {RC}.

O matemático está envolvido num jogo do qual ele mesmo escreve as regras, enquanto o físico joga com as regras fornecidas pela natureza.

Paul Adrien Maurice Dirac.

Sugestões de leituras

Amalie Emmy Noether (Erlangen, 23 de março de 1882 – Bryn Mawr, 14 de abril de 1935) foi uma matemática alemã, conhecida pelas suas contribuições de fundamental importância aos campos da física teórica e álgebra abstrata. Considerada por David Hilbert, Albert Einstein, Hermann Weyl e outros como a mulher mais importante na história da matemática. Ela revolucionou as teorias sobre anéis, corpos e álgebra. Em física, o teorema de Noether explica a conexão fundamental entre a simetria na física e as leis de conservação.

Clique na capa do livro ao lado e comece a leitura.

Terence Tao. Em fevereiro de 2007, converti minha página de atualizações de pesquisa “O que há de novo” em um blog em terrytao.wordpress.com. Desde então, este blog cresceu e evoluiu para cobrir uma ampla variedade de tópicos matemáticos, desde minhas próprias atualizações de pesquisa até palestras e postagens de outros matemáticos, problemas abertos, anotações de aula, artigos expositivos em níveis básicos e avançados. Boa Leitura!

Clique na capa do livro ao lado e acesse via link direto.

Lembre-se: a matemática é a ciência embarcada em todas as atividades humanas, desde o surgimento da escrita, nas tecnologias aeroespaciais, computadores analógicos, digitais, quânticos e principalmente nas criptomoedas que em breve substituirão toda a reserva de valor na economia mundial, sendo a mais importante cripto, Bitcoin. {RC}.

Referências bibliográficas

Em que devemos acreditar? A resposta correta é: no grau de probabilidade dos existenciais!

Vivemos na era da máxima aquisição de conhecimentos. Créditos imagem: pngwing.

Qual a confiabilidade da informação distribuída hoje na internet?

Quando você tem contato com determinada informação, seja na forma de conteúdos que aparecem nas redes sociais: Blogs (este aqui por exemplo) Twitter, WhatsApp, Facebook, canais do Youtube, Wikipedia, etc. A medida da probabilidade da informação embarcada nesses meios digitais, estar correta, é de apenas 50%.

Análise do espaço amostral

Para analisar esses espaços vamos utilizar a distribuição de Bernoulli, uma distribuição discreta de espaço amostral {0, 1}, que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso p e valor 0 com a probabilidade de falha q = 1 − p. Uma moeda pode dar “coroa” com probabilidade p e “cara” com probabilidade 1 − p. A experiência é dita justa se p = 0.5, indicando a origem dessa terminologia em jogos de apostas (a aposta é justa se ambos os possíveis resultados têm a mesma probabilidade).

Qual a orientação segura para tomar como verdade algo divulgado nas redes sociais?

  • Não acredite às cegas no que você leu, considere tudo como 50% verdadeiro. Obs: metáfora das pílulas: Pílula Azul = Senso Comum – Pílula Vermelha = PCE (Produto de Crenças em Existentes).
  • Busque as fontes da postagem, mensagem, conteúdo, fotos, vídeos, etc.
  • Faça uma comparação do conteúdo com suas fontes (origem da informação divulgada), caso o conteúdo não tenha fontes, descarte imediatamente a mensagem, fotos, textos, etc. – Neste ponto a probabilidade de ser verdade cairá para zero!
  • Revise profundamente tudo o que você leu, ouviu, aprendeu, etc. Compare tudo com os avanços e descobertas científicos atuais. Esta é a conduta para alcançar a assertividade!
  • Nunca propague Fake News (notícias falsas ou com base em inexistentes)!

A informação contida em bíblias é segura?

Toda informação contida em livros bíblicos tem como base as crenças em inexistentes, portanto, não são confiáveis ou contém atrasos culturais, morais, éticos e sociológicos!

Prova

Ex: A x 0 = 0 neste caso, uma informação cuja fonte é inexistente – mesmo que esteja escrito como referência ou como significado – terá o mesmo efeito de multiplicar por 0, o resultado será nulo! Torna-se um PCI (produto de crenças em inexistentes). Deveria ser obrigatório que esses livros viessem com a seguinte inscrição nas capas: cuidado com a leitura, este conteúdo é duvidoso!

O que são existenciais?

Existenciais são sinônimos de existência, é a qualidade de tudo o que é real ou existe, e é também a base de todas as outras coisas. Podemos definir a existência como: possibilidades espaciais/subespaciais, temporais em nosso universo.

Em lógica um existencial recebe a letra:

Ex: ∃ x:P(x) significa que há pelo menos um x para o qual P(x) é verdadeiro.

Consequências devastadoras das crenças em inexistentes

  • Se você negar o coronavírus e publicar isso, você será severamente penalizado! Poderá ter suas redes sociais bloqueadas, canais do Youtube excluídos, etc.
  • Se negar as mudanças climáticas, idem!
  • Você se nega a receber a vacina do coronavírus e se pegar o vírus poderá morrer!
  • Você terá dificuldades em aceitar a plena automatização das tarefas humanas por robôs, IAs, e integração das cadeias produtivas na 4ª revolução industrial.
  • Você terá dificuldades em compreender as viagens espaciais e os avanços da tecnologia.

Não tente atribuir juízo de valor para inexistentes

As consequências da tentativa de atribuir juízos de valor para coisas que não existem, pode causar a nulidade da valoração dos assuntos em questão. Embora todos tenham o direito de expressar suas ideias e pensamentos, estamos sujeitos às regras existenciais.

Sobre liberdade de expressão

Qualquer pessoa tem direito à liberdade de expressão. Este direito compreende a liberdade de opinião e a liberdade de receber ou de transmitir informações ou ideias sem que possa haver ingerência de quaisquer autoridades públicas e sem considerações de fronteiras.

O exercício destas liberdades, porquanto implica deveres e responsabilidades, pode ser submetido a certas formalidades (∃), condições (∃), restrições (∃) ou sanções (∃), previstas pela lei (∃), que constituam providências necessárias, numa sociedade democrática, para a segurança nacional, a integridade territorial ou a segurança pública, a defesa da ordem e a prevenção do crime, a proteção da saúde ou da moral, a proteção da honra ou dos direitos de outrem, para impedir a divulgação de informações confidenciais, ou para garantir a autoridade e a imparcialidade do poder judicial.

(∃) = regras dos existenciais.

Quem determina o que existe e o que não existe?

  1. Lógica matemática (infraestrutura básica de nosso pensamento – educação básica)
  2. Leis da física (100% existenciais e descobertas – educação básica)
  3. Ciência (extremamente confiável)
  4. Tecnologia (aprimoramento do ser humano)
  5. Epistemologia (estudo aprofundado do conhecimento)

Estes são os cinco pilares que determinam a identificação, normalização e propagação dos existenciais. Não há entidades, escolas, ou grupos que irão determinar o que existe ou não, essa determinação está condicionada ao grau educacional de cada ser humano no planeta, são percepções provadas e não acidentais.

Crença em inexistentes é pura falta de educação!

Em pleno século XXI é inadmissível que alguém em plena consciência e com sanidade cognitiva, com acesso à educação fundamental, ainda acredite em coisas que não existem. Se você acredita em algo que não pode existir, ou não existe, revise de forma urgente essa crença, caso contrário poderá trazer consequência devastadoras em sua vida e de seus semelhantes. Ex.: acidentes graves no trânsito (confiar no santinho pendurado no espelho retrovisor e dormir ao volante), morte por coronavírus (sua crença em seres inexistentes, sua igreja ou grupos do qual você faça parte, convenceram você a não tomar vacinas).

Só atingiremos a maturidade política no momento em que conseguirmos dispensar qualquer cultura metafísica, qualquer cultura que creia em poderes e forças não-humanas.

{John Dewey}.

Resumo epistemológico

  • Existência = natureza ou leis da física (100% da existência no universo: matéria, energia, tempo, espaços, subespaços).
  • Inexistência = tudo o que não faz parte das leis da física (0% de existência “não podem existir” deus, deuses, espíritos, alma, etc.).
  • Simulação Cerebral = autopercepção de nós mesmos (é aqui que entra nossa consciência 100% simulada pelo cérebro).
  • Conhecimento = CVJV (crenças verdadeiras, justificas e validadas).
  • Ciência = descoberta e aplicação das leis da física
  • Tecnologia = aplicação da ciência.
  • Dado = informação armazenada.
  • Informação = aquisição de conhecimento.

Resumo filosófico

Convenções sobre operações indexadas no conjunto vazio

  • Somas vazias = 0
  • Produtos vazios = 1
  • Uniões vazias = ∅
  • Interseções vazias = o conjunto universo
  • Permutações vazias! = 1
  • O conjunto vazio { } = ∅ determina a origem dos microestados ou da informação que será medida.

Fórmula para a mínima possibilidade de medição:

μ(∅) = 0

O campo da Subjetividade

Os espaços/subespaços matemáticos (ao contrário dos espaços/subespaços físicos que são objetivos e independem de nossos conceitos) formam o campo da subjetividade, entendida como o subespaço íntimo do indivíduo, ou seja, como ele “instala via simulação cerebral” a sua opinião ao que é dito (mundo interno) com o qual ele se relaciona com o mundo social e físico (mundo externo), resultando tanto em marcas singulares na formação do indivíduo quanto na construção de crenças e valores compartilhados na dimensão cultural que vão constituir a experiência histórica e coletiva dos grupos e populações. A psicologia social utiliza frequentemente esse conceito de subjetividade e seus derivados como formação da subjetividade ou subjetivação. Etimologia: do latim subjectivus (subicere: “colocar sob” + jacere: “atirar, jogar, lançar”).

A subjetividade é o mundo interno simulado pelo cérebro de todo e qualquer ser humano. Este mundo interno é composto por emoções, sentimentos e pensamentos.

Na teoria do conhecimento, a subjetividade é o conjunto de ideias, significados e emoções que, por serem baseados no ponto de vista do sujeito, são influenciados por seus interesses e desejos particulares. Tem como oposto a objetividade (espaços/subespaços da física), que se baseia em um ponto de vista intersubjetivo, isto é, que pode ser verificável por diferentes sujeitos e medido, inclusive por dispositivos e aparatos da tecnologia.

Do ponto de vista da sociologia, a subjetividade se refere ao campo de ação e representação dos sujeitos – sempre condicionados a circunstâncias históricas, políticas e culturais.

Através da nossa subjetividade construímos um espaço relacional, ou seja, nos relacionamos com o “outro”. Este relacionamento nos insere dentro de esferas de representação social em que cada sujeito ocupa seu papel de agente dentro da sociedade. Estes sujeitos desempenham papeis diferentes de acordo com o ambiente e a situação em que se encontram, o que segundo Goffmam pode ser interpretado como ações de atores sociais. Somente a subjetividade contempla, coordena e conhece estas diversas facetas que compõem o indivíduo.

O campo das psicologias confronta-se cada vez mais com as exigências éticas colocadas pela necessidade de reconhecimento da alteridade como elemento constitutivo das subjetividades singulares.

As diferenças nos modos de subjetivação e constituição das subjetividades relacionam-se com a dimensão ética na medida em que esta sistematiza e justifica racionalmente um determinado código ou padrão de conduta, um determinado quadro de normas e valores e uma determinada postura a ser ensinada aos e exigidas dos sujeitos. As éticas, portanto, são como dispositivos “ensinantes” de subjetivação: elas efetivamente sujeitam os indivíduos, ensinando, orientando, modelando e exigindo a conversão dos homens em sujeitos morais historicamente determinados.

E sobre aqueles que trabalham divulgando inexistentes?!

Muitas vezes as pessoas me perguntam: e aqueles que trabalham nas profissões como escritores de ficção, padres, pastores, astrólogos, artistas, ilusionistas – os mágicos, as homeopatias, psicanalistas, espiritualistas, ufologistas, etc.

Quando o intuito é beneficiar o próximo e não lhes causar danos, prestando um serviço que seja digno e venha ao amparo das pessoas, esse tipo de inexistentes tornam-se um nicho e tendem a se dissipar com o tempo, porque os existenciais se sobrepõem em todas as coisas.

Núcleo existencial

Em todos os espaços/subespaços o conjunto vazio ∅ vem primeiro, portanto, o conjunto vazio ∅ funciona como um autovetor e autovalor, constituindo o núcleo existencial.

Quando o conjunto vazio ∅ não estiver presente, algo precisa vir em seu lugar – que seja um existente, não é mesmo? 😉

{RC}

Referências Bibliográficas

Teoria da informação e entropia – como passamos do conhecimento para a informação?

O que é entropia nos termos da física?

Dente de leão simbolizando a entropia. Créditos: www.pngwing.com.

Entropia (do grego εντροπία, entropia), unidade [J/K] (joules por kelvin), é uma grandeza termodinâmica que mede o grau de liberdade molecular de um sistema, está associado ao seu número de configurações (ou microestados), ou seja, de quantas maneiras as partículas (átomos, íons ou moléculas) são distribuídos em níveis energéticos quantizados, incluindo translacionais, vibracionais, rotacionais e eletrônicos. Entropia também é geralmente associada à aleatoriedade, dispersão de matéria e energia, e “desordem” (não em senso comum) de um sistema termodinâmico. A entropia é a entidade física que rege a segunda lei da termodinâmica, à qual estabelece que a ela deve aumentar para processos espontâneos e em sistemas isolados. Para sistemas abertos, deve-se estabelecer que a entropia do universo (sistema e suas vizinhanças) deve aumentar devido ao processo espontâneo até o meio formado por sistema + vizinhanças atingir um valor máximo no estado de equilíbrio. Neste ponto, é importante ressaltar que vizinhanças se entende como a parte do resto do universo capaz de interagir com o sistema, através de, por exemplo: trocas de calor.

Função da entropia binária, ensaio de Bernoulli, princípio da entropia máxima. Créditos: http://www.pngwing.com.

A distribuição de Bernoulli, nome em homenagem ao cientista suíço Jakob Bernoulli, é a distribuição discreta do espaço amostral {0, 1}, que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso p e valor 0 com a probabilidade de falha q = 1 − p.

Resumo:

  • P(1) = p
  • P(2) = q
  • p + q = 1
  • q = 1 − p

Se X é uma variável aleatória com essa distribuição, teremos:

P(X=1)=1-P(X=0)=1-q=p

Um exemplo clássico de uma experiência de Bernoulli é uma jogada única de uma moeda. A moeda pode dar “coroa” com probabilidade p ou “cara” com probabilidade 1 − p. A experiência é dita justa se p = 0.5, indicando a origem dessa terminologia em jogos de apostas (a aposta é justa se ambos os possíveis resultados têm a mesma probabilidade).

Gelo derretendo. (C) WiKi.

Uma definição formal de entropia em termos de possibilidade é: entropia é uma medida aditiva do número de possibilidades disponíveis para um sistema. Assim, a entropia de um sistema físico é uma medida aditiva do número de microestados possíveis que podem ser realizados pelo sistema. E a entropia de uma fonte de mensagem é uma medida aditiva do número de mensagens possíveis que podem ser escolhidas dessa fonte de mensagens.

Obs.: com a morte de um organismo vivo, a entropia do organismo aumenta. À medida que o interior morre, seus restos são espalhados pelo vento. No entanto, mesmo nesta morte, novas possibilidades são distribuídas.

Entropia na teoria da informação

A falta de informação é uma medida da informação necessária para escolher um microestado específico de um conjunto de microestados possíveis ou uma mensagem de uma fonte de mensagens possíveis. Ao passo que a incerteza pode ser entendida como a falta de informação sobre uma questão de interesse para um determinado agente (por exemplo, um tomador de decisão humano ou uma máquina), uma condição de conhecimento limitado em que é impossível descrever exatamente o estado do mundo ou sua evolução futura. Portanto, podemos representar essa origem como:

μ(∅) = 0

O significado dessa fórmula é: a entropia do vazio ∅ (origem do conhecimento) é zero 0.

A teoria da informação lógica cumpre precisamente a máxima de Kolmogorov. Ele começa simplesmente com um conjunto de distinções definidas por uma partição (divisão) em um conjunto finito U, onde uma distinção é um par ordenado de elementos de U em blocos distintos da partição – podemos representar isso como Probabilidade/Subespaços. Assim, o objeto “combinatório finito” é o conjunto de distinções (“distset”) ou conjunto de informações (“infoset”) associado à partição – Informação/Partição; ou seja, o complemento em U × U da relação de equivalência associada à partição. Para obter uma medida quantitativa de informação, qualquer distribuição de probabilidade em U define uma medida de probabilidade do produto de U × U, e a entropia lógica é simplesmente essa medida de probabilidade no conjunto de informações. Esta descrição motivacional da teoria da informação lógica será agora desenvolvida em detalhes.

O conceito de incerteza desempenha um papel semelhante. Quanto maior e mais variado o conjunto a partir do qual um sistema pode ser escolhido e quanto maior e mais variada a fonte da mensagem da qual uma mensagem pode ser extraída, mais incerto será o resultado e mais alta será a entropia. A entropia lógica é a medida (no sentido técnico não negativo da teoria da medida) de informações que surgem da lógica de partição assim como a teoria da probabilidade lógica surge da lógica de subconjuntos (subespaços).

Entropia de Shannon

Representação da origem do conhecimento μ(∅) = 0 com o particionamento binário proposto por Shannon. Créditos imagem: CC {rcristo.com.br}

Consequentemente, a entropia de Shannon é interpretada como o número médio do limite de bits necessários por mensagem. Em termos de distinções, este é o número médio de partições binárias necessárias para distinguir as mensagens.

Podemos representar a entropia de Shannon pela fórmula:

H(p)=\sum_{k=1}^{m} p_{k} \log _{2}\left(\frac{1}{p_{k}}\right)

Considere uma árvore binária de três níveis, onde cada ramo se divide em dois ramos equiprováveis em cada nível, como em 2^{3}=8, folhas são as mensagens, cada uma com probabilidade \frac{1}{8}. Uma entropia multiplicativa de Shannon é o número de mensagens equiprováveis 2^{3}=8, e a entropia de Shannon é o número de decisões binárias ou bits \log \left(2^{3}\right)=3 necessários para determinar cada mensagem que, neste exemplo canônico, é o comprimento do código binário de cada mensagem.

Máquina de Galton

Tabuleiro de Galton em movimento. Créditos Wikipédia.

Se pensarmos na árvore como uma máquina de Galton com bolinhas de gude caindo da raiz e tomando um dos galhos com igual probabilidade, então a probabilidade de alcançar qualquer folha em particular é, obviamente, \frac{1}{8}. A entropia lógica é a probabilidade de que em duas tentativas diferentes a bola de gude alcance folhas diferentes.

h (p) = 1 − 8 × \left(\frac{1}{8}\right)^{2}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}

Entropia como possibilidade é uma palavra adequada e, ao contrário da incerteza e da falta de informação, tem conotação positiva. Assim, de acordo com a segunda lei da termodinâmica, um sistema termodinâmico isolado sempre evolui no sentido de abrir novas possibilidades. E quanto maior o conjunto de possibilidades a partir do qual um microestado ou uma mensagem podem ser realizados ou escolhidos, maior será a entropia do sistema físico ou a entropia de Shannon da fonte da mensagem.

Convenções sobre operações indexadas no conjunto vazio

  • Somas vazias = 0
  • Produtos vazios = 1
  • Uniões vazias = ∅
  • Interseções vazias = o conjunto universo
  • Permutações vazias = 1

O conjunto vazio { } = ∅ determina a origem dos microestados ou da informação que será medida.

{RC}.

A medida direta é a entropia lógica que é a medida quantitativa das distinções feitas por uma partição. A entropia de Shannon é uma transformação ou reunificação da entropia lógica para a teoria matemática das comunicações. O matemático Andrei Kolmogorov sugeriu que as informações devem ser definidas independentemente da probabilidade, de modo que a entropia lógica é definida pela primeira vez em termos do conjunto de distinções de uma partição e, em seguida, uma medida de probabilidade no conjunto define a versão quantitativa da entropia lógica.

A entropia de Shannon é frequentemente apresentada como sendo a mesma que a entropia de Boltzmann.

Conectividade espacial e subespacial

Trabalhamos com um espaço métrico que entendemos como um plano complexo, a menos que especificado de outra forma. A letra Ω denotará um conjunto aberto no espaço métrico, consequentemente, uma região é simplesmente conectada se e somente se seu complemento no plano complexo estendido estiver conectado. Assim, uma região é simplesmente conectada se e somente se não tiver orifícios. Este é um critério muito transparente para determinar se uma região está simplesmente conectada ou não.

Para qualquer conjunto finito U, uma medida μ (lê-se: mi é a décima segunda letra do alfabeto grego) é uma função μ: ℘ (U) → R tal que:

μ(∅) = 0,

para qualquer E ⊆ U, μ (E) ≥ 0, e

para quaisquer subconjuntos disjuntos E1 e E2, μ (E1 ∪ E2) = μ (E1) μ (E2).

Seja X um espaço métrico e E ⊆ X, começamos com uma definição de conectividade

Definição: um conjunto E é conectado se E não puder ser escrito como uma união disjunta de dois subconjuntos abertos relativos não vazios de E. Assim, E = A ∪ B com A ∩ B = ∅ e A, B aberto em E implica que A = ∅ ou B = ∅. Caso contrário, E = A ∪ B é chamado de separação E em conjuntos abertos. Por exemplo, a união E de dois discos abertos separados A e B não está conectada, pois:

E = A ∪ B = (A ∪ B) ∩ E = (A ∩ E) ∪ (B ∩ E)

onde A ∩ E e B ∩ E não estão vazios, disjuntos e relativamente abertos em E. Como em C, um conjunto conectado aberto em um espaço métrico é chamado de região.

Definição: um subconjunto máximo conectado de E é chamado de componente de E. Para a ∈ E, seja C(a) a união de todos os subconjuntos conectados de E contendo a. Observamos que a ∈ C (a) uma vez que {a} está conectado e:

E=\bigcup_{a \in E} C(a)

Fornecemos algumas propriedades de C(a).

(i) C(a) está conectado.

A prova é por contradição. Seja C(a) = A ∪ B uma separação de C(a) em conjuntos abertos. Podemos assumir que a ∈ A e b ∈ B. Então, como b ∈ C(a) e C(a) é a união de todos os subconjuntos conectados de E contendo a, existe E0 ⊆ E tal que E0 ⊆ C(a) está conectado e a ∈ E0, b ∈ E0. Por isso:

E0 = E0 ∩ C (a) = E0 ∩ (A ∪ B) = (E0 ∩ A) ∪ (E0 ∩ B)

implica que ou E0 ∩ A = ∅ ou E0 ∩ B = ∅. Isso é uma contradição, pois a ∈ E0 ∩ A e b ∈ E0 ∩ B.

Assim, cada componente de E tem a forma C(a) com um ∈ E.

Os componentes de E são disjuntos ou idênticos.

Seja a, b ∈ E. Suponha que C(a) ∩ C(b) = ∅. Então provamos que C(a) = C(b). Seja x ∈ C(a) ∩ C(b). Então x ∈ C(a). Como C(a) está conectado, deduzimos que C(a) ⊆ C(x). Então a ∈ C(x) que implica C(x) ⊆ C(a) já que C(x) está conectado. Assim, C(a) = C(x). Da mesma forma C(b) = C(x) e, portanto, C(a) = C(b).

Os componentes de um conjunto aberto são abertos

Seja E um conjunto aberto. Basta mostrar que C(a) com a ∈ E está aberto. Seja x ∈ C(a).

(ii) Então C(x) = C(a).

Como x ∈ E e E é aberto, existe r > 0 tal que D(x, r) ⊆ E. De fato, D(x, r) ⊆ C (x) já que D(x, r) está conectado contendo x. Assim, x ∈ D(x, r) ⊆ C(a) e, portanto, C(a) é aberto.

Ao combinar (i), (ii) concluímos: um conjunto aberto em um espaço métrico é uma união disjunta de regiões.

Para os pontos P0, P1, …, Ps no plano complexo, escrevemos [P0, P1, …, Ps] para o caminho poligonal obtido unindo P0 a P1, P1 a P2, …, Ps− 1 a Ps por segmentos de linha. Agora fornecemos um critério fácil de aplicar para mostrar que os conjuntos no plano estão conectados.

Seja E um subconjunto aberto não vazio de C. Então E é conectado se e somente se quaisquer dois pontos em E podem ser unidos por um caminho poligonal que está em E.

Prova: Suponha que E está conectado. Como E = ∅, seja a ∈ E. Seja E1 o subconjunto de todos os elementos de E que podem ser unidos a a por um caminho poligonal. Seja E2 o complemento de E1 em E. Então:

E = E1 ∪ E2 com E1 ∩ E2 = ∅, a ∈ E1.

É suficiente mostrar que E1 e E2 são subconjuntos abertos de E. Então E2 = ∅ visto que E está conectado e a ∈ E1. Assim, cada ponto de E pode ser unido a a por um caminho poligonal que fica em E. Portanto, quaisquer dois pontos de E podem ser unidos por um caminho poligonal que fica em E via a.

Primeiro, mostramos que E1 está aberto. Seja a1 ∈ E1. Então a1 ∈ E e como E está aberto, encontramos r1 > 0 tal que D(a1, r1) ⊆ E. Qualquer ponto de D(a1, r1) pode ser unido a a1 e, portanto, a a por um caminho poligonal que fica em E desde a1 ∈ E1. Assim, a1 ∈ D(a1, r1) ⊆ E1. A seguir, mostramos que o E2 está aberto. Seja a2 ∈ E2. Novamente encontramos r2 > 0 de modo que D(a2, r2) ⊆ E visto que E está aberto. Agora, como acima, vemos que nenhum ponto deste disco pode ser unido a a como a2 ∈ E2 e, portanto, a2 ∈ D(a2, r2) ⊆ E2. Agora assumimos que se quaisquer dois pontos de E podem ser unidos por um caminho poligonal em E, mostramos que E está conectado. Deixe:

E = E1 ∪ E2

Seja uma separação de E em conjuntos abertos. Não há perda de generalidade em assumir que existem pontos a1 ∈ E1 e a2 ∈ E2 tais que:

χ (t) = ta1 (1 – t) a2 com 0 <t <1

é um segmento aberto de a2 a a1 situado em E. Deixe:

V = {t ∈ (0, 1)|χ(t) ∈ E1} e W = {t ∈ (0, 1)|χ(t) ∈ E2}.

Vimos que V e W estão abertos em (0, 1). Além disso, temos a separação do intervalo aberto (0, 1) em conjuntos abertos (0, 1) = V ∪ W, V ∩ W = ∅

Como a1 ∈ E1 e E1 está aberto, existe r3 > 0 com D(a1, r3) ⊆ E1. Isso implica V = ∅. Da mesma forma W = ∅. Portanto, o intervalo (0, 1) não está conectado. Isso é uma contradição.

Partições Young

Para uma partição λ, o diagrama de Young da forma λ é um diagrama justificado à esquerda |λ| em caixas, com λi caixas pretas na i-ésima coluna, denotamos o conjunto de todos os diagramas Young contidos em um k × (m − k) caixa por Tk,m−k \mathcal{T}_{m}=\cup_{k=0}^{m}

Por exemplo, os diagramas de Young no conjunto T2,2 são dados por:

O conjunto T3 é dado por:

Observe que cada diagrama de Young em Tm pode ser obtido de um diagrama de Young em Tm−1 adicionando uma coluna vazia à sua direita ou uma linha preenchida antes de sua primeira linha. Por exemplo, as partições obtidas da partição λ = ∅ ∈ T1,2 são dadas por 1 ∈ T2,2 e ∅ ∈ T1,3. Assim, o número de diagramas de Young no conjunto Tm é dado por 2m. A seguir, identificamos uma partição e seu diagrama Young associado.

Para qualquer partição λ = λ1 ··· λk, definimos λ∗ como a partição λ∗ = (λ1 + 1)(λ2 + 1)··· (λk + 1) e λ∗ como a partição λ∗ = λ1 ·· · λk0.

Em outras palavras, λ ∗ é o diagrama de Young que é obtido de λ adicionando uma linha preenchida antes da primeira linha de λ, e λ ∗ é o diagrama de Young que é obtido de λ adicionando uma coluna vazia no lado direito de λ.

O que são dados?

O significado de dados é: um conjunto de informações que depende da forma (espacial ou subespacial) e tipo (estruturados ou não estruturados). Ex: uma letra, uma palavra, símbolos matemáticos, uma página de texto, um livro em formato pdf, um livro em papel, uma planilha, um formulário em papel ou online, etc. Os dados podem ser classificados no tipo: estruturados e não estruturados.

Obs.: um livro em papel é um dado espacial, um livro em PDF ou EPUB é um dado subespacial.

O principal objetivo das minhas pesquisas é esclarecer você leitor para que se proteja dos absurdos conceituais que os influenciadores da própria internet estão disseminando o tempo todo; 100% de tudo o que você leu, ouviu, assistiu, etc., precisa de provas contundentes (referências lógicas válidas), para alcançar CVJV, caso contrária não terá validade.

Claude Shannon

Em 1948, publicou o importante artigo científico intitulado A Mathematical Theory of Communication July, October, 1948 – C. E. SHANNON enfocando o problema de qual é a melhor forma para codificar a informação que um emissor queira transmitir para um receptor.

Clique na foto de Shannon (Courtesy of MIT Museum) e baixe em PDF seu mais importante trabalho.

A matemática é a linguagem com a qual escrevemos as partituras que representam a realidade percebida (universo), cujo pano de fundo é a entropia, a origem do conhecimento é o vazio { } e a informação é a possibilidade da representação que pode ser compactada em espaços e subespaços.

{RC}.

Referências Bibliográficas

Resolva suas dúvidas sobre espaços e subespaços: Leis da Física versus Matemática

O que são espaços e subespaços matemáticos?

Os espaços/subespaços da matemática são 100% conceituais/abstratos/subjetivos, são invenções cognitivas humanas (porque é nosso cérebro que faz matemática via simulação cerebral e todos os seres que possuem cérebros, ex: aranhas, também realizam procedimentos equivalentes, assim como as abelhas, observe a simetria de suas projeções geométricas) para que a ciência matemática possa existir e possa ser usada em nossas vidas. Experimentos e ferramentas com precisão extrema como as novas fábricas que utilizam EUV (UVE – Ultra Violeta Extrema) para fabricação de chips da TSMC de chips de silício de 3 (nm) nanômetros (previstos para 2022) (1 nm = 1 \times 10^{-9} metro ou 0,000.000.001 metro – um milionésimo de milímetro ou um bilionésimo de metro). O Brasil também está na vanguarda tecnológica com a nossa mais nova fábrica de luz síncroton Sirius (leia abaixo sobre nosso acelerador de luz de 4ª geração.). Também podemos atribuir possibilidades existenciais aos espaços/subespaços matemáticos.

O que são espaços e subespaços físicos?

Os espaços/subespaços da física são a infraestrutura (tecido) do próprio universo (nossos corpos e todas as coisas físicas ocupam espaços físicos), correspondem à realidade objetiva que independe de nossa concepção/abstração, também podemos atribuir possibilidades existenciais a eles.

Exemplo de espaço sem subespaço e espaço com subespaço. Créditos imagem: Wikipédia, Planosdeaula

Podemos ver na foto acima que ambos os tabletes (o Sumério de 6000 anos atrás e os tabletes atuais), ocupam lugares no espaço; entretanto, os tabletes atuais possuem subespaços compactados em seu interior contendo bilhões de componentes nanométricos (chips de silício).

Observatório de Ondas Gravitacionais por Interferômetro Laser

O Observatório de Ondas Gravitacionais por Interferômetro Laser (em inglês: Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory – LIGO). Em 11 de fevereiro de 2016, o projeto LIGO anunciou a detecção de ondas gravitacionais a partir do sinal encontrado às 09h51 UTC de 14 de setembro de 2015, de dois buracos negros com cerca de 30 massas solares em processo de fusão, a 1,2 bilhão de anos-luz da Terra. Isso confirmou a existência de espaços físicos que podem ser dobrados (contraídos pelas ondas gravitacionais). Em 3 de outubro de 2017, o Prêmio Nobel de Física foi atribuído a Rainer Weiss, Barry Barish e Kip Thorne por contribuições decisivas para o detector LIGO e a observação de ondas gravitacionais.

Numerical Simulation: S. Ossokine, A. Buonanno (Max Planck Institute for Gravitational Physics), Simulating eXtreme Spacetimes project; Scientific Visualisation: T. Dietrich (Max Planck Institute for Gravitational Physics), R. Haas (NCSA).

A animação acima mostra a coalescência (junção) de dois buracos negros em órbita, detectados pelos observatórios Ligo e Virgo avançado em 14 de agosto de 2017. A força da onda gravitacional é indicada tanto pela elevação quanto pela cor, com verde escuro indicando fracos campos e violeta brilhante indicando campos fortes. A amplitude da onda gravitacional é redimensionada no tempo, o que permite mostrar o sinal durante toda a coalescência e não apenas perto da fusão, onde é mais forte. Os tamanhos dos buracos negros foram aumentados por um fator de dois para melhorar a visibilidade.

Simulação da fusão de dois buracos negros – Max Planck Institute for Gravitational Physics.

Obs: não é a natureza que faz matemática – nosso universo não é matemático, somos nós por meio de nossa capacidade cognitiva (nosso cérebro) realizamos tal conquista. A natureza/física já nasceu com suas próprias leis que independem de nossa limitação em sua percepção ou compreensão.

{RC}.

A diferença entre espaços/subespaços físicos e matemáticos

Espaços/subespaços físicos são diferentes de espaços/subespaços matemáticos. É por esse motivo que a medida do metro (símbolo: m, unidade de medida de comprimento do Sistema Internacional de Unidades, definido como: o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo), mudou para refletir a precisão em nossas medições no universo físico.

A precisão matemática entre esses elementos é a interseção entre eles: PM = EF ∩ EM

Significado de PM = EF ∩ EM

  • PM = Precisão Matemática
  • EF = Espaços ou/e subespaços da Física
  • EM = Espaços ou/e subespaços da Matemática

A interseção entre espaços/subespaços da física com a matemática, significa que alguns espaços/subespaços (conceitos/soluções/modelagem) matemáticos são válidos para a física, mas não todos.

Quando vemos um paradoxo na física, é realmente uma pista que aponta para uma lacuna em nosso entendimento, resolver o paradoxo pode nos levar a novos conhecimentos.

{Matt O’Dowd}

Leis da física

São as descobertas mais importantes, por meio delas conseguimos aproximar nossos modelos matemáticos para conseguir cada vez mais precisão em nossos experimentos, desenvolver novas ferramentas e instrumentos.

Espelho M4 com óptica adaptativa do ELT

Esta imagem é uma renderização do M4, o espelho adaptativo principal do Extremely Large Telescope (ELT). O termo “espelho adaptativo” significa que a superfície do espelho pode ser deformada para corrigir a turbulência atmosférica, bem como a vibração rápida da estrutura do telescópio induzida por seu movimento e pelo vento. O ELT, o maior olho no céu do mundo, terá um sistema óptico de cinco espelhos que permitirá desvendar o Universo com detalhes sem precedentes. Clique na imagem para ampliá-la. Créditos ESO.

O maior espelho adaptável já construído, o espelho M4 do futuro Extremely Large Telescope (ELT) (Telescópio Extremamente Grande), do ESO, atingiu um marco importante no seu desenvolvimento: os seis segmentos em forma de pétala que compõem o espelho estão terminados.

O M4, o quarto espelho no caminho da luz do telescópio, pode mudar de forma rapidamente de maneira muito precisa e constitui uma parte crucial do sistema de óptica adaptativa do ELT. A radiação emitida por objetos cósmicos é distorcida pela atmosfera do nosso planeta, dando origem a imagens borradas. Para corrigir estas distorções, o ELT utilizará hardware e software de óptica adaptativa avançada, alguns dos quais foram desenvolvidos especialmente para este telescópio. Estes sistemas incluem lasers potentes que criam estrelas artificiais de referência no espaço – necessárias quando não existem estrelas suficientemente brilhantes perto do objeto em estudo que permitam medições das distorções atmosféricas – e câmeras de detecção rápida e precisa que medem essas distorções. Estas medições são então encaminhadas em tempo real para computadores extremamente rápidos, que calculam as correções de forma necessária para serem aplicadas ao M4. Além da conclusão da construção das pétalas do M4, esses sistemas também atingiram recentemente importantes marcos na sua construção.

Graças ao seu sistema de óptica adaptativa, o ELT do ESO será capaz de fornecer imagens mais nítidas que as que são obtidas atualmente, ou no futuro – no espaço  – com telescópios tais como o Telescópio Espacial Hubble da NASA/ESA e o Telescópio Espacial James Webb com lançamento previsto para dezembro/2021.

Ilustração de como será o novo ELT. Créditos ESO.

Extreme Light Infrastructure (infraestrutura de luz extrema) (ELI)

Extreme Light Infrastructure – ELI.

ELI-Beamlines Facility

Em Dolni Brezany, perto de Praga, República Tcheca, a instalação ELI-Beamlines se concentrará principalmente no desenvolvimento de fontes secundárias de radiação e partículas de pulso curto e em suas aplicações multidisciplinares em ciências moleculares, biomédicas e materiais, física de plasmas densos, matéria densa quente, astrofísica de laboratório. Além disso, o pilar utilizará seus lasers de alta potência e alta taxa de repetição para experimentos de física de alto campo com intensidades focadas de cerca de 1 \times 10^{23} W/\mathrm{cm}^{2}, investigando física de plasma exótico e efeitos QED não lineares.

ELI-Attosecond Facility

A ELI Attosecond Light Pulse Source (Fonte de pulso de luz de attosegundo) (ELI-ALPS) em Szeged, Hungria está estabelecendo uma instalação única, que fornece fontes de luz entre THz (1 \times 10^{12} Hz) e faixa de frequência de raios-X (1 \times 10^{18}1 \times 10^{19} Hz) na forma de pulsos ultracurtos com alta taxa de repetição. O ELI-ALPS será dedicado a dinâmicas extremamente rápidas tirando fotos instantâneas na escala de attossegundos (um bilionésimo de um bilionésimo de segundo) da dinâmica do elétron em átomos, moléculas, plasmas e sólidos. Ele também fará pesquisas com lasers de intensidade ultra-alta. http://www.eli-alps.hu.

ELI-Nuclear Physics Facility

Em Magurele, Romênia, as instalações do ELI Nuclear Physics (ELI-NP) se concentram na física nuclear baseada em laser. Ele hospedará duas máquinas, um laser de altíssima intensidade, onde os feixes de dois lasers de 10 PW (Peta Watt) são somados de forma coerente para obter intensidades da ordem de 1 \times 10^{23}1 \times 10^{24} W/\mathrm{cm}^{2}, e um feixe gama brilhante muito intenso, obtido por incoerentes Espalhamento Compton de uma luz laser a partir de um feixe de elétrons brilhante de um acelerador linear convencional. As aplicações incluem experimentos de física nuclear para caracterizar a interação laser-alvo, reações fotonucleares e física nuclear exótica e astrofísica. http://www.eli-np.ro.

Buraco negro encontrado escondido em aglomerado estelar fora da nossa galáxia

Com o auxílio do Very Large Telescope (VLT) do Observatório Europeu do Sul (ESO), os astrônomos descobriram um pequeno buraco negro fora da Via Láctea ao observar a maneira como este objeto influencia o movimento de uma estrela na sua vizinhança. Trata-se da primeira vez que este método de detecção é utilizado para revelar a presença de um buraco negro fora da nossa Galáxia. Este método pode ser crucial para descobrir buracos negros escondidos na nossa Via Láctea e em galáxias próximas e nos dar pistas sobre como é que estes objetos misteriosos se formam e evoluem. Clique na imagem acima e leia a matemática completa 11/11/2021. Créditos: ESO.

Sirius – Acelerador de Luz Síncrotron de 4ª Geração Brasileiro

Acelerador brasileiro de Luz Síncrotron Sirus de 4ª geração. Clique na imagem para acessar a página completa com informações. Créditos: Projeto Sirius Brasil.

Sirius Acelerando o Futuro da Ciência Brasileira. A nova fonte de luz síncrotron brasileira, é a maior e mais complexa infraestrutura científica já construída no País. Este equipamento de grande porte usa aceleradores de partículas para produzir um tipo especial de luz, chamada, luz síncrotron. Essa luz é utilizada para investigar a composição e a estrutura da matéria em suas mais variadas formas, com aplicações em praticamente todas as áreas do conhecimento.

Sirius é uma infraestrutura aberta, à disposição da comunidade científica brasileira e internacional, desenvolvida no Centro Nacional de Pesquisa em Energia e Materiais (CNPEM) – Organização Social supervisionada pelo Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovações (MCTI). Sirius é financiado com recursos do MCTI e projetado por pesquisadores e engenheiros do CNPEM, em parceria com a indústria nacional.

Sirius permitirá que centenas de pesquisas acadêmicas e industriais sejam realizadas anualmente, por milhares de pesquisadores, contribuindo para a solução de grandes desafios científicos e tecnológicos, como novos medicamentos e tratamentos para doenças, novos fertilizantes, espécies vegetais mais resistentes e adaptáveis e novas tecnologias para agricultura, fontes renováveis de energia, entre muitas outras potenciais aplicações, com fortes impactos econômicos e sociais.

Abaixo, apresentamos um pouco dos desafios envolvidos no desenvolvimento desta infraestrutura que promete inaugurar um novo capítulo da história da ciência brasileira, trazendo benefícios para toda a sociedade.

A Excelência Científica
no Brasil a Serviço
da Humanidade

Ao final de 2019, já era evidente a qualidade da pesquisa científica realizada no Centro Nacional de Pesquisa em Energia e Materiais (CNPEM), uma organização social vinculada ao Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovações (MCTI). Isso ficou ainda mais claro no cenário de pandemia do Coronavírus causador da doença Covid-19 deste ano, que mostrou mais uma vez que os recursos aplicados na ciência não são gastos, e sim, investimentos. Com o surgimento do novo coronavírus e sua disseminação por todo o planeta, vimos a importância de ter infraestrutura de pesquisa de qualidade, com cientistas e colaboradores capacitados e prontos para atender ao chamado da humanidade.

Clique na foto ao lado para leitura do livro em pdf.

A tecnologia do Sirius 4ª geração em números

Energia dos elétrons: 3 GeV
Circunferência do anel: 518,4 m
Diâmetro do anel: 165 metros
Número de linhas de luz
comportadas: 40
Emitância: 0,28 nm.rad
Área do prédio: 68000 m2
Mais de 1350 magnetos
Radiofrequência: cavidades
supercondutoras, mais de
500 kW em 500 MHz
Vácuo: mais de 1 km de
câmaras de vácuo e mais de
1300 componentes
Sistema de controle: 8000
pontos de controle e mais de
400 computadores
Túnel: mais de 500 metros com
temperatura controlada em +/- 0,1oC
Linac: quatro estruturas
aceleradoras, 90 MW
pulsados em 3 GHz
Sincronismo: Cerca de 800
sinais distribuídos
Diagnóstico: Mais de 250
monitores de posição
Proteção radiológica: 1 km de
blindagem de concreto com
0,8 a 1,5 m de espessura e
3 m de altura
Intertravamento: 4000 pontos
de monitoração
Fontes de corrente: cerca de 900
fontes e mais de 40 km de cabos
de alimentação
Infraestrutura: 700 km de
cabos elétricos
Terraplanagem: Movimentados
220 mil m3 de terra
com compactação minima
de 98%

Laboratório Nacional de Luz Síncrotron

O LNLS faz parte do Centro Nacional de Pesquisa em Energia e Materiais (CNPEM), uma Organização Social supervisionada pelo Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovações (MCTI).

Referências Bibliográficas

Psicanálise é considerada pseudociência!

Créditos imagem: pinimg.com

Quanto mais a ciência avança, mais precisão temos em nossos estudos e análises. Utilizando o repertório técnico científico de hoje que se atualiza e avança no tempo, as dúvidas que tínhamos sobre métodos alternativos de tratamento psicológico, que neste caso é a psicanálise, ganhou pleno status de pseudociência.

Os critérios que foram determinantes nessa classificação podem ser estudados e analisados conforme o resumo abaixo. Hoje nossa referência mais assertiva para determinar o que é ou não uma pseudociência, situasse na nova demarcação do conhecimento: CVJV.

Obs.: pseudociência é PCI (um produto de crenças em inexistentes).

Resumo

Introdução: A psicanálise já foi classificada como pseudociência no passado. Karl Popper foi um daqueles que traçou objeções à doutrina psicanalítica, usando do critério da falseabilidade. Entretanto, a falseabilidade não pode mais ser considerada suficiente para resolver o problema, já que implica em dificuldades consideráveis, e melhores alternativas para abordar a questão estão disponíveis. Objetivo: Este artigo tem por objetivo avaliar o status científico da psicanálise em relação ao problema da demarcação. Método: Para fazer isso, o critério de Sven Ove Hansson foi utilizado: este consiste em um conjunto de condições suficientes e necessárias, que é complementado com uma lista de multicritérios que auxiliam a identificar pseudociências. Foi analisado o quanto a psicanálise se encaixava em cada um dos sete itens da lista de Hansson, além de ser proposta a adição de um oitavo item. Resultados: Os resultados mostraram que a psicanálise era compatível com todos os oito itens da lista de demarcação de pseudociências. Conclusão: Ao final, a conclusão foi de que mesmo que a falseabilidade deva ser descartada, as evidências sugerem que ainda temos motivos suficientes para afirmar que a psicanálise é uma pseudociência, já que ela se distancia significativamente dos padrões de qualidade científicos.

Qual a diferença entre Ciência e Pseudociência?

A diferença reside nos métodos utilizados, a ciência usa CVJV e as pseudociências não.

Clique aqui para acesso direto ao artigo original em PDF

Referências Bibliográficas

Livro da prova (Book of Proof Third Edition) – Richard Hammack

O livro Book of Proof (Livro da Prova), é um dos melhores livros que já li sobre como compreender e aplicar a matemática do vazio { } na aquisição de conhecimento. Considero este livro o mais didático possível para compreender espaços e subespaços matemáticos – traz um conhecimento bem fundamentado sobre o estudo do conjunto vazio { }, que é obrigatório para a compreensão de sistemas complexos tais como: tecnologias atuais, estudos da simulação física, molecular, cerebral, redes neurais convolucionais biológicas e artificiais, cosmologia, física de partículas, mecânica quântica, inteligências artificiais, buracos negros, etc.

Clique na capa do livro e leia online ou em seu Smartphone. Se você usa Android, recomendo o Aplicativo Readera

{RC}

Segue exemplos do tratamento do conjunto vazio ∅ ou {}

Existe um conjunto especial que, embora pequeno, desempenha um grande papel. Um conjunto vazio ∅ ou {} é o conjunto que não possui elementos. Nós o representamos como ∅, então ∅ = {}. Sempre que você vir o símbolo ∅, ele representa {}. Observe que |∅| = 0. O conjunto vazio é o único conjunto cuja cardinalidade (número de elementos do conjunto) é zero. Tenha cuidado ao escrever o conjunto vazio. Não escreva {∅} quando você quer dizer ∅. Esses conjuntos não podem ser iguais porque ∅ não contém nada enquanto {∅} contém uma coisa – a saber – o conjunto vazio. Se isso é confuso, pense em um conjunto como uma caixa com coisas dentro; então, por exemplo, {2,4,6,8} é uma “caixa” contendo quatro números. O conjunto vazio ∅ = {} é uma caixa vazia. Em contraste, {∅} é uma caixa com uma caixa vazia dentro dela. Obviamente, há uma diferença: uma caixa vazia não é o mesmo que uma caixa com uma caixa vazia dentro dela. Assim ∅ ≠ {∅}. (Vocês também podem observar |∅| = 0 e ∣{∅}∣ = 1 como evidência adicional de que ∅ ≠ {∅}.

Aplicação prática

Exemplo 1

F = {∅,{∅},{{∅}}}

Como ler essa expressão: F é um conjunto que contém 3 coisas. Essa analogia com uma caixa pode nos ajudar a pensar sobre os conjuntos. O conjunto F = {∅,{∅},{{∅}}} pode parecer estranho, mas é realmente muito simples. Pense nisso como uma caixa contendo três coisas: uma caixa vazia, uma caixa contendo uma caixa vazia e uma caixa contendo uma caixa contendo uma caixa vazia. Assim a cardinalidade (contagem) |F| = 3. O conjunto G = {N, Z} é uma caixa contendo duas caixas, a caixa dos números naturais e a caixa dos números inteiros.

Exemplo 2

Suponha que A = {a} e B = {a, b}. Então, a diferença A∖B = {a} ∖ {a, b} = {} = ∅

A\B = {x ∈ A|x ∉ B } é o conjunto de elementos de A que não estão em B, também podemos denominar: o complementar de B em relação à A.

A diferença de A e B é o maior subconjunto de A que não contém nenhum dos elementos de B.

Como o conjunto vazio {} é um subconjunto de cada conjunto, esse é um resultado possível da subtração de dois conjuntos um do outro. Em particular, o resultado de A∖B ocorre, se e somente se A⊆B, ou (equivalentemente) se A∪B = A.

Supremo e Ínfimo do conjunto vazio ∅ ou { }

Um conjunto de números reais S é limitado acima se houver um número real M tal que x ≤ M para cada x ∈ S. Qualquer número M é chamado de limite superior para S. A definição de limitado abaixo é semelhante, e dizemos que S é limitado se for limitado acima e abaixo.

Um número x ∈ R é o supremo, ou menor limite superior de S, se x é um limite superior para S, e se y for qualquer limite superior para S, então x ≤ y.

Para o supremo, escolha um número real com a propriedade de que não existe um elemento do conjunto que o exceda. Como o conjunto está vazio, qualquer número real serve, agora comece a empurrar o número cada vez mais abaixo até que a condição seja violada. Como não há nenhum elemento do conjunto para violar a condição, você pode continuar empurrando-o cada vez mais para baixo indefinidamente – então o supremo é o “menor” valor possível −∞, raciocínio semelhante justifica que o mínimo seja + ∞. Isso é puramente heurístico.

Concordo que é contraintuitivo, é o único caso em que o supremo é menor que o ínfimo. No entanto, isso decorre da definição. Uma maneira de pensar sobre isso é que o supremo de um conjunto S é o que obtemos se pegarmos um ponto e arrastá-lo para baixo de ∞ até que ele não possa ir mais abaixo sem atingir S e o ínfimo é o que acontece se tomarmos um ponto e arrastá-lo de −∞ até que atinja S. Ou seja, meio que imaginamos S como um bloco intransitável de coisas cujo supremo e ínfimo, estão presos nas laterais dele. Mas se não há S, então não há bloqueio, e conforme prendemos esses pontos juntos, eles simplesmente passam um através do outro e continuam – eles sempre tiveram movimento para dentro, mas agora nada os impede, então eles acabam em −∞ e ∞ respectivamente, tanto quanto possível.

Uma vez que todo número real x é um limite superior para ∅, x ≥ sup ∅ para todo x ∈ R. Portanto o sup ∅ = −∞. Raciocínio semelhante fornece inf ∅ = + ∞.

Dizemos que x é o supremo de um conjunto S se x for o menor limite superior de S. Ou seja, x ≥ S para todos s ∈ S e x ≤ y para qualquer y que seja um limite superior de S. Portanto, se considerarmos ∅, todo x ∈ R é um limite superior de ∅. Portanto, o supremo de ∅ deve ser o min (R), que geralmente é −∞. Podemos raciocinar da mesma forma para o ínfimo.

Resumo de supremo e ínfimo do conjunto vazio = ∅ = { }

Considerando os reais estendidos, Re = R ∪ {− ∞, + ∞} podemos obter:

Se considerarmos ∅, todo x ∈ R um limite superior de ∅. Portanto, o supremo de ∅ deve ser o min (R), que geralmente é −∞.

Se considerarmos ∅, todo x ∈ R um limite inferior de ∅. Portanto, o ínfimo de ∅ deve ser o max (R), que geralmente é +∞.

sup ∅ = min ( { − ∞ , + ∞ } ∪ R ) = − ∞

inf ∅ = max ( { − ∞ , + ∞ } ∪ R ) = + ∞

Exemplo: ∅ ⊆ ∅

O conjunto vazio é um subconjunto de todos os conjuntos, ou seja ∅ ⊆ B para qualquer conjunto B.

Isso nos leva a um fato significativo: Se B for qualquer conjunto, então ∅ ⊆ B. Para ver por que isso é verdade, observe a frase da figura 1. Isso nos diz que: se ∅ não estivesse contido em B significaria que há pelo menos um elemento em ∅ que não é um elemento de B. Mas isso não pode ser verdade, porque não existem elementos em vazio.

Figura1. Se um conjunto finito possui n elementos, então ele possui 2^{n} subconjuntos, sendo obrigatório o ∅ fazer parte dele, ou seja, sua origem é o conjunto vazio { } = ∅.

{RC}.

Notas do autor do livro: Richard Hammack

Meu objetivo ao escrever este livro foi criar um livro didático de alta qualidade. O livro pode ser baixado em formato PDF gratuitamente, e a versão impressa custa consideravelmente menos do que livros tradicionais comparáveis.

Nesta terceira edição, o Capítulo 3 (sobre contagem) foi expandido, e um novo capítulo sobre provas de cálculo foi adicionado. Novos exemplos e exercícios foram adicionados por toda parte. Minhas decisões em relação às revisões foram guiadas por comentários da Amazon e e-mails de leitores, e estou grato por todos os comentários.

Tenho me esforçado para garantir que a terceira edição seja compatível com a segunda. Os exercícios não foram reordenados, embora alguns tenham sido editados para maior clareza e alguns novos foram anexados. (A única exceção é que a reorganização do Capítulo 3 mudou alguns exercícios.) O capítulo sequenciamento é idêntico entre as edições, com uma exceção: o final do capítulo sobre cardinalidade tornou-se o capítulo 14, a fim de abrir caminho para o novo Capítulo 13 sobre provas de cálculo. Houve uma ligeira renumeração das seções nos capítulos 10 e 11, mas a numeração dos exercícios dentro das seções não foi alterada.

O núcleo deste livro é uma expansão e refinamento das notas de aula I desenvolvida durante o ensino de cursos de provas ao longo dos últimos 18 anos na Virgínia Commonwealth University (uma grande universidade estadual) e Randolph-Macon College (uma pequena faculdade de artes liberais). Eu encontrei as necessidades desses dois públicos quase idênticos, e escrevi este livro para eles. Mas estou atento a uma audiência maior. Eu acredito que este livro é adequado para quase todos os alunos de graduação em matemática.

O não entendimento do Vazio { } causa uma grave falha perceptiva: a crença em inexistentes, e como essa crença é nula (PCI = nulo), as pessoas que não sabem que são simulações de seus cérebros e pensam que existe algo oculto na natureza – não importa com que designação ou afirmação retratem isso – provocará uma desilusão e involução devastadora em suas vidas.

A não percepção do Vazio { } pode provocar a nulidade em sua simulação.

{RC}.

Créditos:

Referências bibliográficas

Conheça Zlibrary – A biblioteca gratuita infinita

Livraria Zhongshuge de Guiyang – Crétitos: Feng Shao

Baixe todos os livros que desejar, ZLIBRARY tem perto de 11 milhões de livros gratuitos e 85 milhões de artigos, sem burocracias, sem propagandas; tudo livre mesmo! Estamos construindo uma biblioteca inclusiva infinita!

Se você é estudante, universitário, pesquisador, cientista, curioso; não importa, ZLIBRARY está disponível 24 por dia, a biblioteca não para de crescer e você pode colaborar ao fazer uma conta e postar seus livros digitais.

O projeto foi lançado em 2009 e contém todo tipo de livros, artigos acadêmicos, revistas, etc. O principal objetivo é resolver o problema do acesso ao conhecimento que antes da internet era restrito a pouco países com elevado investimento em educação.

Se você chegou até aqui não perca tempo, baixe seus livros via computador, smartphones, tablets e comece a leitura. Lembre-se: quase ninguém sabe que Z-library existe!

{RC}

App para leitura de Ebooks recomendado

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Fonte: Zlibrary

O que é viés cognitivo e como isso nos afeta?

Definição de viés cognitivo

O termo viés cognitivo foi primeiramente introduzido por Amos Tversky e Daniel Kahneman em 1972, e surgiu da experiência de ambos com a enumeracia (Incapacidade para realizar e compreender operações aritméticas simples) das pessoas, ou inabilidade do racionalizar intuitivamente com ordens de grandeza maiores. Juntamente com outros colegas, demonstraram várias maneiras replicáveis nas quais julgamentos humanos e decisões diferem da teoria da escolha racional. Eles explicaram essas diferenças pela heurística, conjunto de regras pelas quais é mais simples para o cérebro levar em conta erros sistemáticos, introduzindo-os.

Estes experimentos tornaram-se o heuristics and biases research program (programa de pesquisa de heurísticas e vieses), que logo se estendeu da psicologia acadêmica para outras áreas, como medicina e ciência política. Isso se tornou um ponto crucial no crescimento da economia comportamental, rendendo a Kahneman o Prêmio Nobel de economia em 2002. Este, mais a frente, juntamente com Tversky, desenvolveu a “teoria da expectativa” como uma alternativa mais realista à teoria da escolha racional.

Como ocorre o viés?

Ilustração do cérebro: créditos pngwings.

Um viés cognitivo (ou tendência cognitiva) é um padrão de distorção de julgamento que ocorre em situações particulares, levando à distorção perceptual, julgamento pouco acurado, interpretação ilógica, ou o que é amplamente chamado de irracionalidade.

Essa falha é causada pela incapacidade natural de nosso cérebro no processamento e assimilação das informações que recebe e processa; portanto, todos nós sem exceções, estamos sujeitos aos erros cognitivos e na maioria das vezes não percebemos que estamos cometendo esses erros.

Segue a lista de vieses e alguns comentários. Clique no título do viés para acessar as informações completas.

Viés de informação

É a tendência humana que diante de uma questão ou problema, buscar por mais informações que o necessário para tentar solucioná-lo. Causa perda de tempo e a pessoa encontra dificuldades em atingir seus objetivos.

Ex.: você sabe o caminho para chegar do ponta A ao ponto B, mas prefere seguir a informação do GPS de seu Smartphone, mesmo sabendo que o caminho mais rápido é diferente do escolhido pelo aparelho. Você confia em excesso na informação que está recebendo no momento e isso atrapalha suas decisões.

Viés de confirmação

Também chamado de viés confirmatório ou tendência de confirmação, é a tendência de se lembrar, interpretar ou pesquisar por informações de maneira a confirmar crenças ou hipóteses iniciais.

Ex.: você acredita, pensa acreditar ou aceita como verdade coisas que partem do seu imaginário de sua cultura e procura a todo custo validar essa crença.

Viés do Efeito Dunning–Kruger

Tendência de pessoas pouco qualificadas de superestimarem suas próprias habilidades. É um fenômeno que leva indivíduos que possuem pouco conhecimento sobre um assunto a acreditarem saber mais que outros melhores preparados, fazendo com que tomem decisões erradas e cheguem a resultados indevidos; é a sua incompetência que restringe sua capacidade de reconhecer os próprios erros. Estas pessoas sofrem de superioridade ilusória.

Em contrapartida, a competência real pode enfraquecer a autoconfiança e algumas pessoas muito capacitadas podem sofrer de inferioridade ilusória. Esses indivíduos podem pensar que não são muito capacitados e subestimar as próprias habilidades, chegando a acreditar que outros indivíduos menos capazes também são tão ou mais capazes do que eles. A esse outro fenômeno dá-se o nome de síndrome do impostor.

Ex.: a maioria dos políticos são incompetentes para ocupar o cargo eletivo, por não possuírem a capacidade intelectual ou formação em administrar suas posições, isso acarreta em decisões equivocadas e prejuízos para nosso país.

Dunning e Kruger propuseram que, em relação a uma determinada habilidade, as pessoas incompetentes irão:

  • falhar em reconhecer sua própria falta de habilidade;
  • falhar em reconhecer as habilidades genuínas em outras pessoas;
  • falhar em reconhecer a extensão de sua própria incompetência;
  • reconhecer e admitir sua própria falta de habilidade depois que forem treinados para aquela habilidade.

Viés da Crença em Inexistentes

Venho estudando este viés há mais de 20 anos e considero o pior de todos. Este viés é aceito por nossa cultura e estabelece como verdadeiro as orientações bíblicas em detrimento às descobertas científicas. As consequências podem ser observadas no tratamento da pandemia de coronavírus no Brasil. Os crentes em inexistentes tendem a negar a existência do vírus, preferindo a orientação dos grupos, templos, etc., ao qual fazem parte. Inclusive cometem o erro de tomar medicação inadequada para tentar conter o vírus. Leia a respeito!

O resultado do viés da crença em inexistentes é mostrado de forma nítida e objetiva, basta olhar para o gráfico abaixo:

Os países que negam a ciência e usam crenças para tratar o óbvio como o Brasil, estão vivendo o dilema e as consequências da crença em inexistentes. O coronavírus é extremamente eficiente em infectar quem nega sua existência. Clique no gráfico e observe a posição do Brasil na pandemia de coronavírus em 2021.

Estatísticas compiladas oficiais COVID19 Brasil com atualização constante

Clique neste imagem e será encaminhado para os dados atualizados.

O brasileiro é o segundo povo mais atrasado do planeta (que vergonha!)

Créditos: Observatório Terceiro Setor Fonte: IPSOS – Perigos da Percepção 2017

Os povos, assim como ocorre com o Brasil, que insistirem em acreditar em inexistentes (um grave viés cultural e educacional), estarão condenados ao fracasso em pleno século 21.

Segue orientações para estudo

Para que as coisas funcionem e possamos colocar nosso pensamento em plena harmonia no contexto atual, se faz necessário usar a integridade matemática. Por meio dessa integridade, atingiremos o conhecimento verdadeiro e justificado.

Conheça novo método para o estudo da matemática. Clique na imagem para acesso direto. Créditos: Hung-Hsi Wu

Conclusão do pensamento matemático

A matemática não admite “verdades absolutas – inexistentes”. Em vez disso, a maioria dos matemáticos trabalha dentro do sistema de axiomas conhecido como Zermelo-Fraenkel com escolha, ou ZFC para ser breve. ZFC formaliza o conceito de conjunto, uma abstração de uma coleção de objetos, chamados elementos. Acredita-se que o ZFC seja logicamente consistente e a “correção” afirmações da matemática são avaliadas de acordo com a “comprovabilidade” e “consistência lógica” em relação ao ZFC. Teoremas provados em ZFC são coloquialmente considerados “verdadeiros”. Estritamente falando; no entanto, os matemáticos não encontram verdades metafísicas, mas, em vez disso, deduzem conclusões lógicas partindo de suposições chamadas hipóteses.

Obs.: não existe matemática na natureza ou em nosso universo. A matemática foi inventada e desenvolvida por nós humanos – única civilização encontrada no universo conhecido, até o momento 03/2021!

{RC}
  • Definições: Cada conceito é definido de forma clara e precisa de modo que não haja ambiguidade sobre o que está sendo discutido.
  • Precisão: todas as afirmações são precisas, especialmente as hipóteses que garantem a validade de uma afirmação matemática, o raciocínio em uma prova e as conclusões que seguem de um conjunto de hipóteses.
  • Raciocínio: Todas as afirmações, exceto as suposições básicas inevitáveis, são apoiadas por raciocínio.
  • Coerência: Os conceitos e habilidades básicos são logicamente entrelaçados para formar um único tecido e as interconexões entre eles são reveladas de forma consistente.
  • Objetivo: O objetivo matemático por trás de cada conceito e habilidade é claramente apresentado de modo a não deixar dúvidas sobre por que está onde está.

Referências Bibliográficas

Matemática do Vazio (resolva equívocos e pense com clareza!)

O ser humano alcançará o máximo estágio evolutivo após conseguir superar todas as crenças em todo tipo de inexistentes, quando alcançarmos essa meta, saberemos de forma permanente que não poderá existir espaços/subespaços sem que o vazio não esteja presente. E não importa quão grande seja nosso universo, o vazio existe em todos os espaços. O vazio é um autovalor e autovetor em todos os espaços de conhecimento.

Sabemos que o conjunto ∅ existe, é contável e bem fundado. Se algo não puder ser contado é nulo e não poderá fazer referências ao conhecimento!

O produto da crença em inexistentes é sempre nulo.

PCI = NULL {nulo}.

{RC}

Quem tem por que viver, suporta qualquer como.

{Nietzsche}

O vazio é origem de tudo, caso você se sinta vazio, não se preocupe, esta é a melhor oportunidade para recomeçar!

{RC}

Característica do conjunto ∅

O conjunto vazio é um subconjunto de A.
∀A: ∅ ⊆ A
A união de A com o conjunto vazio é A.
∀A: A U ∅ = A
A interseção de A com o conjunto vazio é o conjunto vazio.
∀A: A ∩ ∅ = ∅
O produto cartesiano de A e o conjunto vazio é o conjunto vazio.
∀A: A × ∅ = ∅
O conjunto vazio possui as seguintes propriedades
Seu único subconjunto é o próprio conjunto vazio.
∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
O conjunto de potência do conjunto vazio é o conjunto que contém apenas o conjunto vazio:
2^∅ = {∅}
Seu número de elementos (isto é, sua cardinalidade) é zero:
|∅| = 0
Uma soma vazia é zero:
Soma {{}} = 0
Um produto vazio é um:
Produto {{}} = 1
Uma permutação vazia também é um:
0! = 1

Exemplo 1

Existe um conjunto vazio ∅ que não contém elementos. Para todos 𝑥, a declaração 𝑥 ∈ ∅ é falsa. Em particular, para cada conjunto 𝐴 a implicação lógica “𝑥 ∈ ∅ implica 𝑥 ∈ 𝐴” é vazia (tem uma hipótese falsa).

Consequentemente, ∅ ⊆ 𝐴 é verdadeiro para todos em 𝐴.

Observação

Créditos imagem: Pngwig.

O conjunto vazio é único: se ∅ e ∅’ são conjuntos sem elementos, então ∅ ⊆ ∅’ e ∅’ ⊆ ∅ são ambos verdadeiros, então ∅ = ∅’.

Em matemática, sempre restringimos nossa atenção aos conjuntos contidos em um conjunto fixo 𝒰, chamado universo. Os subconjuntos específicos de 𝒰 são convenientemente descritos usando a notação do construtor de conjuntos, na qual os elementos são selecionados de acordo com as condições lógicas formalmente conhecidas como predicados.

A expressão {𝑥 em 𝒰|𝑃(𝑥)} é lida “o conjunto de todos 𝑥 em 𝒰 de modo que 𝑃(𝑥)”.

Exemplo 2

A expressão {𝑥 em Y|𝑥 > 0}, lida como “o conjunto de todos os 𝑥 em Y de modo que 𝑥 > 0”, especifica o conjunto de + números inteiros positivos.
Para personificar, se 𝒰 é uma população cujos elementos são indivíduos, um subconjunto 𝐴 de 𝒰 é um clube ou organização, e o predicado que define 𝐴 é um cartão de sócio. Examinamos indivíduos 𝑥 para associação 𝐴 verificando se 𝑥 carrega ou não o cartão de associação para 𝐴; ou seja, se 𝑃(𝑥) é verdadeiro ou não.

Exemplo 3

Não pode existir nenhum “conjunto 𝒰 de todos os conjuntos”. Se existisse, o conjunto 𝑅 = {𝑥 em 𝒰|𝑥 ∉ 𝑥}, compreendendo todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos, teria a propriedade que 𝑅 ∈ 𝑅 se e somente se 𝑅 ∉ 𝑅. Essa contradição é conhecida como paradoxo de Russell, formulada pelo lógico inglês Bertrand Russell.

Obs: Não confunda o conjunto vazio com o número zero!

Ex: o conjunto {0} ≠ 0 porque {0} é um conjunto com um elemento, ou seja, {{}}, enquanto 0 é apenas o símbolo que representa o número zero.

Exemplo 4

A expressão {𝑥 em Y|𝑥 = 2𝑛 para alguns 𝑛 em Y} é o conjunto de números pares. Muitas vezes, denotamos esse conjunto em 2Y, com a ideia de que o número inteiro geral resulta da multiplicação de algum número inteiro por 2. Da mesma forma, o conjunto de números inteiros ímpares pode ser expresso como 2Y + 1 = {𝑥 em Y|𝑥 = 2𝑛 + 1 para alguns 𝑛 em Y}.

Von Neumann definição de ordinais (cardinalidade)

Na matemática, particularmente na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o universo de von Neumann, hierarquia de von Neumann dos conjuntos, ou hierarquia cumulativa, abreviado V, é uma classe definida por recursão transfinita: a classe dos conjuntos hereditariamente bem fundados. V é o modelo mais aceito da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, pelo qual pode ser entendido intuitivamente como a classe de todos os conjuntos.

Definição de V

Representação transfinita de Von Newman. (créditos imagem: http://www.pngwing.com).

V é definida por recursão transfinita.

O primeiro nível é o conjunto vazio:

\displaystyle \huge V_{0}:=\emptyset

Para um ordinal α, sendo {\displaystyle {\mathcal {P}}(x)} o conjunto das partes de  x :

\displaystyle \huge V_{\alpha+1}:=\mathcal{P}\left(V_{\alpha}\right)

Para um ordinal limite β:

\displaystyle \huge V_{\beta}:=\bigcup_{\alpha<\beta} V_{\alpha}

É importante ressaltar que existe uma fórmula {\displaystyle \phi (x,\alpha )} da linguagem da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que representa {\displaystyle x\in V_{\alpha }}.

Uma definição alternativa às três últimas, está dada pela fórmula:

Para β um ordinal:

\displaystyle \huge V_{\beta}:=\bigcup_{\alpha<\beta} \mathcal{P}\left(V_{\alpha}\right)

Finalmente, sendo V a união de todos os Vα:

\displaystyle \huge \mathrm{V}:=\bigcup_{\alpha \in \mathrm{O} n} V_{a}

O uso do símbolo de união na última linha constitui um abuso da linguagem, de modo que {\displaystyle x\in \mathbf {\mathsf {V}} } deve ser interpretado como “existe um ordinal \alpha tal que {\displaystyle x\in V_{\alpha }}.

Note-se que para cada ordinal α, Vα é um conjunto; porém V não é um conjunto.

A denominação hierarquia cumulativa é usada pois V está definida sobre os ordinais, de modo que:

Assim podemos resumir o que foi dito acima da seguinte forma:

  • 0 = ∅ = {} Um conjunto vazio ou sem elementos.
  • 1 = 0 U {0} = {∅} = {{}} Um conjunto contendo um conjunto vazio.
  • 2 = 1 U {1} = {0,1} = {∅,{∅}} = {{},{{}}} Um Conjunto contendo 2 conjuntos vazios.
  • 3 = 2 U {2} = {0,1,2} = {∅,{∅},{∅,{∅}}} = {{},{{}},{{},{{}}} Um conjunto contendo 3 conjuntos vazios.
  • 4 = 3 U {3} = {0,1,2,3} = {∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}} = {{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}} Um conjunto contendo 4 conjuntos vazios.
  • n = n−1 U {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}}, etc.

A conexão entre o conjunto vazio e o zero é ampla: na definição teórica padrão dos números naturais, os conjuntos são usados para modelar os números naturais. Neste contexto, 0 (zero) é modelado pelo conjunto vazio.

Divisão, multiplicação, Zero e Vazio

  • 1⋅0^3 = 1⋅0⋅0⋅0 = 0
  • 1⋅0^2 = 1⋅0⋅0 = 0
  • 1⋅0^1 = 1⋅0 = 0
  • 1⋅0^0 = 1

Pela definição de subconjunto, o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto A. Ou seja, todo elemento x de ∅ pertence a A. De fato, se não fosse verdade que todos os elementos de ∅ estão em A, haveria pelo menos um elemento de ∅ que não está presente em A. Como não há elementos de ∅ de maneira alguma, não há nenhum elemento de ∅ que não esteja em A. Qualquer declaração que comece “para todo elemento de ∅ não está fazendo nenhuma reivindicação substantiva; é uma verdade vazia. Isso é parafraseado frequentemente como “tudo se aplica aos elementos do conjunto vazio”.

Operações com o conjunto

Quando se fala da soma dos elementos de um conjunto finito, inevitavelmente se leva à convenção de que a soma dos elementos do conjunto vazio é zero. A razão para isso é que zero é o elemento de identidade para adição. Da mesma forma, o produto dos elementos do conjunto vazio deve ser considerado um, pois um é o elemento de identidade para multiplicação.

Soma Vazia

Na matemática a soma vazia é o resultado da adição de nenhum número, como em um somatório, por exemplo. Seu valor numérico é 0, o elemento neutro da adição. Este fato é especialmente útil na matemática discreta e na álgebra. Um caso simples, bastante conhecido é o caso em que:

0 × a = 0

isto é, a multiplicação de um número a qualquer por zero sempre é igual a zero, porque foram adicionadas zero cópias de a.

A soma vazia pode ser comparada com o produto vazio – a multiplicação de nenhum número – cujo valor não é zero, mas 1, o elemento neutro da multiplicação.

Por exemplo:

Soma {{1,2,3}} = Soma{{1,2}} + 3 = Soma {{1}} + 2 + 3 = Soma {{}} + 1 + 2 + 3 = 0 + 1 + 2 + 3

Em geral, define-se:

Soma {{}} = 0

e,

Produto vazio

Na matemática, um produto vazio ou produto nulo é o resultado da multiplicação de nenhum número. Seu valor numérico é 1, o elemento neutro da multiplicação, assim como o valor da soma vazia – o resultado da soma de nenhum número – é 0; isto é, o elemento neutro da adição. Este valor é necessário para a consistência da definição recursiva de um produto sobre uma sequência (ou conjunto, devido a propriedade comutativa da multiplicação).

Por exemplo:

Prod {{1,2,3}} = Prod{{1,2}} x 3 = Prod {{1}} x 2 x 3 = Prod {{}} x 1 x 2 x 3 = 1 x 1 x 2 x 3

Em geral, define-se:

Prod {{}} = 1

e,

Permutação Vazia

Em matemática, especialmente na álgebra abstrata e áreas relacionadas, uma permutação é uma bijeção, de um conjunto finito X nele mesmo. Em combinatória, o termo permutação tem um significado tradicional, que é usado para incluir listas ordenadas sem repetição, mas não exaustivas (portanto com menos elementos do que o máximo possível). O conceito de permutação expressa a ideia de que objetos distintos podem ser arranjados em inúmeras ordens diferentes.

Um desarranjo é uma permutação de um conjunto sem pontos fixos. O conjunto vazio pode ser considerado uma permutação de si mesmo, porque tem apenas uma permutação (0! = 1), e é vacuamente verdade que nenhum elemento (se pode encontrar no conjunto vazio) que mantém sua posição original.

Ex:

1! = 1, pois 1! = 1

0! = 1!/1 = 1

Leitura recomendada

Recomendo o livro ao lado: Medida, Integração e Real Análise, edição 27/02/2022 de Sheldon Axler, um excelente livro para a continuidade dos estudos em análise matemática. Ao ler o livro você se sentirá como Alice no País das Maravilhas da matemática. Ao clicar na capa do livro o Download começará. Compartilhe com todos seus amigos. Não há restrição de idade ou grau educacional. Saber ler em inglês é o suficiente para os estudos, boa leitura. {RC}.

Este livro é uma introdução à linguagem e aos métodos de prova padrão da matemática. É uma ponte dos cursos computacionais (como cálculo ou equações diferenciais) que os alunos normalmente encontram no primeiro ano de faculdade para uma perspectiva mais abstrata. Estabelece uma base para cursos mais teóricos: como topologia, análise e álgebra abstrata. Embora possa ser mais significativo para o aluno que tem algum cálculo, não há realmente nenhum (apenas saber ler em inglês) pré-requisito além da vontade de aprender matemática. Clique na capa e o download começará!{RC}.

Lembre-se, quando você afirmar: não há nada lá! O lá pode estar vazio { }. 😉

Referências Bibliográficas

Conceitos básicos em matemática (noção de primitivas)

Na foto da Big Lousa (grande quadro em sala de aula), podemos perceber a matemática expressada em toda a sua magnitude. Créditos foto (internet).

O que é Matemática?

É a ciência do raciocínio lógico e abstrato, que estuda quantidades, medidas, espaços, estruturas, variações e estatísticas. Também é a ciência mais importante em razão de ser a fundamentação do conhecimento. Toda base tecnológica é fundamentada em matemática, caso sua aprendizagem seja deficitária ficaria muito difícil avançar na aquisição de conhecimento, compreendendo todas as áreas estudadas.

Conceitos básicos

A matemática não existe na natureza – nosso universo não é matemático -, é uma tremenda invenção do pensamento, um produto da cultura que foi amplamente inspirado pela natureza, especialmente durante a gestação da matemática na Suméria. Em contraste com a realidade e em contraste com os fenômenos naturais, a matemática é puramente conceitual. Certos objetos da natureza e certos fenômenos naturais, como o horizonte, favos de mel hexagonais, ritmos naturais, objetos em número ou ondas na superfície da água, podem sugerir que a matemática existe na natureza. De fato, esses objetos e esses fenômenos, chamados de naturais, são irregulares, imperfeitos e não devem ser confundidos com objetos matemáticos perfeitos e que obedecem às leis estritas: a matemática simplifica construindo conjuntos de objetos matemáticos, os quais têm as mesmas propriedades. (1)

A descoberta de verdades não rigorosas é o que nos leva para a contrução (invenção) de rigorosos termos (matemáticos) que são úteis, abrindo as portas para mais descobertas nebulosas.

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Realidade e natureza

Por exemplo, a matemática defende que todos os indivíduos, que fazem parte de uma população de bactérias, são semelhantes; enquanto cada bactéria está em sua condição adequada, a qual difere da seguinte (condição fisiológica, interação com seu ambiente próximo, possível interdependência); mas sem essas simplificações da realidade, o estudo de bactérias seria impossível e o Universo seria ininteligível para nós. (1)

Este é um restabelecimento do antigo princípio latino Pars Pro Toto (verdadeiro para a parte significa verdadeiro para o todo). No entanto, o princípio do PPT é verdadeiro em matemática: em um conjunto matemático, todos os elementos são isomórficos (idênticos) e isonômicos (obedecem às mesmas leis), a menos que o conjunto seja particionado de alguma maneira. (1)

Por não existir na natureza, a matemática tem uma integridade interessante: ao contrário da política, economia, arte e filosofia, não há matemática de esquerda ou de direita; não há matemática aliada ao marxismo, nem fiel a nenhuma religião em particular; e também não favorece nenhuma cultura, espécies ou espécie em particular. Por sua própria essência, a matemática proíbe pontos de vista ideológicos, atitudes intelectuais, preconceitos ou convicções predeterminadas. Em sua aparente frieza, a matemática é vertical, mas não neutra, porque fica na linha de frente na luta contra o analfabetismo (sem conhecimento mínimo) e o obscurantismo (crença em inexistentes), na medida em que é uma maneira verdadeiramente excepcional de entender e inventar coisas. (1)

A matemática – nossa melhor invenção – fornece provas, mas é desprovida de realidade, pois a matemática não existe fora da simulação, embora as leis da física sejam cunhadas em matemática, essas leis continuam sendo da física – não podemos inventar leis da física, somente descobri-las.

A origem da matemática

Algumas formas matemáticas muito básicas emergem no início do neolítico, AEC 7000 anos atrás; suas origens, em várias culturas, são diversas, poligênicas. No Curdistão iraquiano, estratos arqueológicos desse período retornaram pequenas cerâmicas esféricas, cilíndricas ou cônicas, chamadas de cálculos, destinadas a manter contas. Os cálculos parecem ser os arquivos contábeis mais antigos. Assim, eles deram origem a um sistema com um futuro promissor: administração. Deveria ser visto como um passo em direção à abstração, porque os cálculos já eram representações quantificadas e codificadas. No início da era neolítica, com esse modelo aritmético pequeno e elementar representado pelos cálculos, nossos ancestrais inventaram um dos primeiros modelos matemáticos. Seixos pintados, encontrados em Mas-d’Azil em Ariège (França, 9000 AEC), são interpretados como auxiliares de memória e provável precursor de cálculos. (1)

Artefatos matemáticos

A ideia aqui é combinar matemática e natureza, a fim de avaliar algum aspecto deste último, usando conceitos e modelos matemáticos. Nota importante: os artefatos matemáticos representam a realidade, mas não são a realidade: essa é precisamente a diferença entre realidade e artefatos matemáticos. (1)

Elementos primitivos

Em matemática, lógica, e sistemas formais, uma noção primitiva é um conceito indefinido. Em particular, a noção primitiva não é definida em termos de conceitos previamente definidos, é apenas motivada informalmente, geralmente por um apelo à intuição e a experiência cotidiana. Em um sistema axiomático ou outro sistema formal, o papel de uma noção primitiva é análoga ao de um axioma; portanto, é muito importante! Teorias formais não podem prescindir (vir sem ou ignorar) noções primitivas, sob pena de regresso ao infinito (circularidade).

Um ponto é aquilo que não tem partes.

Euclides: Os Elementos, Livro I.

Neste livro, o conceito de “ponto” não é primitivo, pois é definido por meio do conceito de “parte” que é primitivo, não recebe definição.
Um conceito pode ser primitivo em um contexto mas não em outro. Como exemplo, em psicologia, as cores geralmente são conceitos primitivos, pois o significado das cores provém unicamente do sentido da visão (e portanto a única maneira de ensinar o que significa precisamente a palavra azul, é mostrando algo dessa cor), mas no contexto da física, elas têm definições em termos de comprimentos de ondas eletromagnéticas.

Clique na foto ao lado para baixar o Livro em PDF. Créditos Unesp: archive.org

Conceitos primitivos formam a base representativa da matemática, são eles:

Espaço e subespaço

Espaços são possibilidades existenciais seja no sentido: físico, matemático, conceitual ou filosófico, representativo, etc. Todo espaço contém subespaços em seu interior. Não há existências fora de um espaço e a nossa capacidade de conhecer depende de um espaço que começa vazio. Em física o espaço não vem sozinho, é mesclado com o tempo para formar o espaço-tempo. {RC}.

Foi nossa capacidade cognitiva que ao inventar a ciência matemática nos proporcionou essa maravilhosa concepção. (consulte BEM-FUNDADO).

{RC}.

Obs: as leis/regras/lógicas/abstrações da matemática foram inventadas por nós no decorrer de milênios da evolução de nosso raciocínio, enquanto as leis da física foram descobertas. Um exemplo é o número Zero = 0, inventado há mais ou menos 2600 anos.

Espaços também podem ser:

Representação

Na teoria dos conjuntos representamos os espaços da seguinte forma:

{ espaço aberto

} espaço fechado

{ } espaço vazio ou ∅

{ { } } um espaço com subespaço interior

{∅} espaço vazio topológico

Ponto

Em Matemática, particularmente na Geometria e na Topologia, um ponto {.} é uma noção primitiva pela qual outros conceitos são definidos. Um ponto determina uma posição no espaço. Na Geometria, pontos não possuem volume, área, comprimento ou qualquer dimensão semelhante. Assim, um ponto é um objeto de dimensão 0 (zero). Um ponto também pode ser definido como uma esfera de diâmetro zero.

Geometria euclidiana

Nos Elementos de Euclides, um ponto é definido como “o que não tem partes”. Isto significa: o que caracteriza um ponto é a sua posição no espaço. Com o aparecimento da geometria analítica, passou a ser possível referir-se a essa posição através de coordenadas.

Geometria projetiva

Na geometria projetiva, um ponto é um elemento de um espaço projetivo, ou seja, é uma reta.

Topologia

Em topologia, um espaço topológico é um conjunto de pontos, aos quais está associada uma noção de proximidade. No entanto, existe uma abordagem recente da topologia, chamada a topologia sem pontos, que estuda os espaços topológicos sem se referir aos pontos que os constituem. Esta abordagem enquadra-se na teoria das categorias.

Reta

A linha reta é aquela que se estende igualmente entre seus pontos, podemos afirmar que é uma medida (distância) entre pontos.

As retas vermelha e azul neste gráfico têm o mesmo declive; as retas vermelha e verde têm a mesma interceptação em y (cruza o eixo y no mesmo local).

Curva

Uma espiral, um exemplo simples de curva.

Tecnicamente, uma curva é o lugar geométrico ou trajetória seguida  por um ponto que se move de acordo com uma ou mais leis especificadas, neste caso, as leis comporão uma condição necessária e suficiente para a  existência do objeto definido. Frequentemente há maior interesse nas  curvas em um espaço euclidiano de duas dimensões (curvas planas) ou três dimensões (curvas espaciais). Em tópicos diferentes dentro da matemática o termo possui  significados distintos dependendo da área de estudo, então o sentido  exato depende do contexto. Um exemplo simples de uma curva é a espiral,  mostrada acima à esquerda. Um grande número de outras curvas já foi bem estudado em diversos campos da matemática.

Plano (geometria)

Um plano é um ente primitivo geométrico infinito à duas dimensões. Nos Elementos de Euclides, não possui definição enquanto conceito genérico. Mas um plano qualquer é definido, ou determinado, de várias formas equivalentes. Na foto ao lado vemos três planos paralelos.

Acima da esquerda para a direita: o quadrado, o cubo e o tesserato. O quadrado bidimensional (2d) é delimitado por linhas unidimensionais (1d); o cubo tridimensional (3d) por áreas bidimensionais; e o tesserato quadridimensional (4d) por volumes tridimensionais. Para exibição em uma superfície bidimensional, como uma tela, o cubo 3D e o tesserato 4d exigem projeção.

Dimensão

Na física e na matemática, a dimensão de um espaço matemático (ou objeto) é informalmente definida como o número mínimo de coordenadas necessárias para especificar qualquer ponto dentro dela. Assim, uma reta  tem uma dimensão de um (1) porque apenas uma coordenada é necessária  para especificar um ponto nela – por exemplo, o ponto no 5 em uma reta  numérica. Uma superfície como um plano ou a superfície de um cilindro ou esfera tem uma dimensão de dois porque duas coordenadas são necessárias para especificar um ponto nela – por exemplo, uma latitude e uma longitude são necessárias para localizar um ponto na superfície de uma esfera. O interior de um cubo, um cilindro ou uma esfera é tridimensional porque são necessárias três coordenadas para localizar um ponto dentro desses espaços.

As primeiras quatro dimensões espaciais, representadas em uma figura bidimensional.
  1. Dois pontos podem ser conectados para criar um segmento de reta.
  2. Dois segmentos de linha paralela podem ser conectados para formar um quadrado.
  3. Dois quadrados paralelos podem ser conectados para formar um cubo.
  4. Dois cubos paralelos podem ser conectados para formar um tesserato.

Na mecânica clássica, espaço e tempo  são categorias diferentes e referem-se a espaço e tempo absolutos (conceitos superados pela física da relatividade e pela mecânica quântica). Essa concepção de mundo é um espaço de quatro dimensões, mas não o que foi  considerado necessário para descrever o eletromagnetismo. As quatro dimensões do espaço-tempo consistem em eventos que não são absolutamente definidos espacial e temporalmente, mas são conhecidos em relação ao movimento de um observador. O espaço de Minkowski primeiro se aproxima do universo sem gravidade; as variedades pseudo-riemannianas da relatividade geral descrevem o espaço-tempo com a matéria e a gravidade. Dez dimensões são usadas para descrever a teoria das cordas, onze dimensões podem descrever a supergravidade e a teoria-M, e o espaço de estados da mecânica quântica é um espaço de função de dimensão infinita. O conceito de dimensão não se restringe a objetos físicos. Espaços de alta dimensão frequentemente ocorrem na matemática e nas ciências. Eles podem ser espaços de parâmetros ou espaços de configuração, como na mecânica lagrangiana ou hamiltoniana; estes são espaços abstratos, independentes do espaço físico em que vivemos.

Um sistema de coordenadas cartesianas de três dimensões.

Obs: É importante observar que a dimensão está vinculada à forma como o espaço se apresenta.

Tesserato e Hipercubo

Um tesserato (ou tesseracto), octácoro regular ou hipercubo de quatro dimensões é um polícoro (polítopo de quatro dimensões) regular, é o polícoro dual do Hexadecácoro e é análogo ao cubo (que é um poliedro, um polítopo de três dimensões) e ao quadrado (que é um polígono, um polítopo de duas dimensões). Um octácoro apresenta vértices (pontos), arestas (linhas), faces (planos) e células (sólidos).

Para representarmos geometricamente um hipercubo de quarta dimensão, devemos fazer uso da analogia: para formarmos um quadrado, unimos dois segmentos de reta paralelos e de mesmo comprimento através de seus extremos por outros dois outros segmentos de reta. Para representarmos um cubo, unimos os vértices de dois quadrados por quatro segmentos de reta. Para representarmos um hipercubo, unimos todos os vértices de dois cubos por segmentos de reta, conforme sugere a imagem ao lado.

O Tesserato é um cubo projetado em 4 dimensões.

O tesserato é um análogo ao quadrado e ao cubo, mas com quatro dimensões. Para entendermos a quarta dimensão, é necessário relembrarmos rapidamente alguns conceitos de geometria. O primeiro conceito é o ponto. Um ponto é a representação geométrica de posição no espaço, e não possui dimensões (nem altura, nem comprimento, nem profundidade); ou seja, é impossível “medir” um ponto. Um ponto que se move em uma direção gera um segmento de reta. Uma linha que se desloca produz ou uma linha mais longa, ou uma área, se ela se move em direção perpendicular à sua direção anterior, ela gera um retângulo; e, se a distância for a mesma que, a que o ponto se deslocou, um quadrado. Um quadrado, movendo-se nesta mesma distância em uma direção perpendicular, gera um cubo. Para mover o cubo, não podemos visualizar em que direção ele se moveria, assim como uma terceira dimensão seria invisível a habitantes presos à superfície de uma mesa, mas supondo-se que existisse uma direção perpendicular às três dimensões, e que o cubo se deslocasse nesta dimensão da mesma distância padrão, a figura gerada seria um tessarato.

Bijeção e função bijetiva

Uma função bijetiva, função bijetora, correspondência biunívoca ou bijeção, é uma função injetiva e sobrejetiva (injetora e sobrejetora).

Uma função bijetiva injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo).

Função injetiva, mas não sobrejetiva (portanto não é bijetiva).

Função sobrejetiva, mas não injetiva (portanto não é bijetiva).

Função nem injetiva nem sobrejetiva (portanto não é bijetiva).

Cardinalidade

Na matemática, a cardinalidade de um conjunto é uma medida do “número de elementos do conjunto”. Por exemplo, o conjunto A={2,4,6,8,10} contém 5 elementos e por isso possui cardinalidade 5. Existem duas abordagens para cardinalidade – uma que compara conjuntos diretamente, usando funções bijetoras e funções injetoras, e outra que usa números cardinais.

Obs: A cardinalidade de um conjunto A é usualmente denotada |A|, com uma barra vertical de cada lado; trata-se da mesma notação usada para valor absoluto, por isso o significado depende do contexto.

Comparação de conjuntos

Caso 1: |A|=|B|

Dois conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade se existe uma bijeção, ou seja, uma função que seja simultaneamente injetora e sobrejetora, entre eles. Por exemplo, o conjunto E={0, 2, 4, 6, …} dos números pares não-negativos tem a mesma cardinalidade do conjunto N={0, 1, 2, 3, …} dos números naturais, uma vez que a função f(n)=2n é uma bijeção de N para E.

Caso 2: |A|≥|B|

|A|tem cardinalidade maior ou igual que a cardinalidade de B se existe uma função injetora de A para B.

Caso 3: |A|>|B|

|A| tem cardinalidade estritamente maior do que a cardinalidade de B se existe uma função injetora de A para B, mas não existe nenhuma função bijetora de B para A.

Obs: Em teoria dos conjuntos, dois conjuntos são equipotentes se possuem a mesma cardinalidade; ou seja, se há uma bijeção entre os conjuntos.

Dedekind-infinito

Na matemática, especialmente na teoria de conjuntos, um conjunto A é Dedekind-infinito ou infinito de Dedekind se A é equipotente a um subconjunto próprio. Um conjunto é Dedekind-finito se ele não é Dedekind-infinito. O nome provém do matemático alemão Richard Dedekind, que definiu “infinito” dessa maneira no seu famoso artigo de 1888, o que são e o que precisam ser os números.

Infinito

Infinito (do latim infinítu, símbolo: ∞) é a qualidade daquilo que não tem fim. O símbolo de infinito ∞ é por vezes chamado de lemniscata, do latim lemniscus. John Wallis é creditado pela introdução do símbolo em 1655 no seu De sectionibus conicis. Uma conjectura sobre o porquê ter escolhido este símbolo é ele derivar de um numeral romano para 1000 que, por sua vez foi derivado do numeral etrusco para 1000, que se assemelhava a CIƆ e era por vezes usado para significar “muitos”. Outra conjectura é que ele deriva da letra grega ω – Omega – a última letra do alfabeto grego. Também, antes de máquinas de composição serem inventadas, ∞ era facilmente impresso em tipografia usando o algarismo 8 deitado sobre o seu lado.

Referências Bibliográficas